實現數學理解是新課程標對小學數學的具體要求。在課堂教學中，實現數學理解能促進結構化教學的目標達成，是發展“三會”的基礎。遷移、內化、轉化是實現數學理解的主要特征，而在教學中遷移已知、活動探究、交流表達、引導總結、實踐應用等，則是實現數學理解的有效路徑。

一、數學理解的意義

（一）實現數學理解是結構化教學的目標

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要注重教學內容的結構化。結構化教學要求教師對學科知識結構有整體把握，了解數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，了解課程內容和教學內容的安排意圖。在教學中，教師要關注學生的前知識與前學習經驗，引導學生進行知識與經驗的遷移，新舊知識發生實質性的關聯，幫助學生從未知向已知轉化，達到知識的進階，在概念“同化”的過程中，自主建構知識體系，實現數學的理解。

（二）實現數學理解是發展“三會”的基礎

新課標提出課程的統領性目標：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。實現數學理解是達成這“三會”目標的基礎。

1.學生在用數學眼光觀察現實世界的過程中，要學會從具體情境中“剝離”信息，留下數量及數量關系，形成數學研究對象，而在這個過程中要對數量及數量關系有深入理解。如小李有4元，小張有5元，學生要在理解數量4元和數量5元的基礎上抽象出4和5，在理解數量基礎上理解這兩個量之間的關系。如果沒有數學的理解，學生就無法從情境中抽象出數學的研究對象，無法發展數學眼光。

2.學生在思考的過程中，需要對數學對象進行推理，而推理的前提是對數學的理解，如果不理解數學對象及其關系，那就無法實現數學推理。如上面學生找到4和5之間的數量關系后，就可以通過一一對應的方法進行數學推理，5比4多1等。所以說，數學眼光和數學思維都是建立在數學理解的基礎上。

3.數學是以真實現實世界中不存在的數量關系和空間形式為研究對象，因此需要通過一種間接的方式表達出來，方便人們的認識，這就是數學語言。學生經推理后通過符號、數字、字母串組成數學語言表達出來，如5－4＝1，這其實就是實現數學理解后的外部表征。新課標指出，數學不僅是運算和推理的工具，還是表達與交流的語言。所以說，實現數學理解能更好地促進學生進行數學的表達與交流。

二、數學理解的特征

美國課程研究專家格蘭特·威金斯提出“理解”有六種不同形式：解釋、釋義、運用、洞察、移情和自我認識。就實現數學理解而言，威金斯所提這六種不同形式，其實可以概括為三大特征：遷移、內化、轉化。

（一）遷移

遷移是促進知識內化的基礎。遷移學習理論認為，人們應用他們所知道的去建構新的學習，被解釋為“所有的學習都涉及原有經驗的遷移”。所以說，實現數學理解體現在原有知識向新知識的遷移，也就是未知從已知的轉化。

如在學習“倍的認識”時，由于倍不是具體的量，而是兩個數的關系，比較抽象，特別是對于1倍的概念，學生理解起來有一定難度。但是學生對這個內容的學習并非空白。兩個數的關系在一年級的時候學生就已學習，只不過是用“誰比誰多”“誰比誰少”和“一樣多”來表示，“一樣多”其實就1倍。因此，在教學中教師要善于利用原有的知識“一樣多”遷移到“1倍”，幫助學生建立“1倍”的概念，再從“1倍”向“多倍”遷移，讓學生從未知向已知轉化，自主建構學科知識體系。

（二）內化

內化即個體能把新知識與原有的知識進行融合，發展、擴大原有的認知結構，進而形成新的認知結構體系。

如學生在學習了分數運算后，能夠在分數加減法與整數、小數加減法不同運算法則的基礎上進一步提煉，找到三者之間的共同之處（根據計數單位來進行運算），即相同計數單位的疊加與遞減，這樣學生就把分數、整數和小數加減法內化為一個整體認知，思維進階到加減法運算層面（理解運算的一致性），形成和發展了新的知識結構體系，實現了對加減法運算高階思維的理解。

（三）轉化

數學表征就是個體在數學理解的基礎上，通過語言、符號、圖形等數學語言把內化的思維表現出來的一種形式。表征轉化模型表明，對數學概念的深入理解需要經歷不同表征方式，要能夠建立這些表征方式之間的聯系和轉化。所以，在學習的過程中教師要通過表征的轉化，建立表征之間方式的聯系，促進學生實現深度理解。

如在“小數的加減法”一課中，為使學生明白計算小數加減法時小數點要對齊的道理，教師要通過引導性提問，使學生在交流與對話中，從原來的如果小數點不對齊就不對了的認識，到其實就是對齊計數單位，最后到用元、角、分的知識解釋說明小數點對齊的道理。這樣學生從初步的認識到用計數單位表征，最后到用元、角、分這些現實生活中能看得到、摸得著的知識來解釋，在轉化中建立了計數單位與生活中元、角、分的關系，學生在表征相互轉換中，實現對小數加減法算理的深度理解。

三、實現小學數學理解的路徑

在教學中，實現數學理解的有效路徑主要有：

（一）遷移已知，在關聯中理解

建構主義認為，學生只有在自己原有認識結構的基礎上學習和探索新知識，并將新知識與已有知識經驗建立聯系，形成知識的結構化，才能形成對知識的深刻理解。理解性教學的一個最大的特點就是關注學生的前知識，也就是學生已經知道了什么，這是教學的起點。只有準確把握好教學的起點，抓準新舊知識之間的聯結點，才能幫助學生利用舊知關聯新知，促進知識的遷移，實現理解。

如在教學“20以內進位加法”時，教師做以下復習鋪墊：口算9+1+1，9+1+2，9+1+3…

師問：為什么你們算得這么快？

生答：因為前面都是9+1，正好湊成十，十加幾就是幾。

然后，口算9+2，9+3，9+4…

師問：為什么你們還是算得這么快？

教師根據學生的回答板書：

最后，口算9+6，9+7，9+8…

課上到此，學生就能從教師的復習鋪墊中認識到“9加幾”的知識，我們可以先湊成十，然后再用10加幾計算。完成這樣一個教學鋪墊，學生自然理解為什么要用湊十法計算，及湊十法是什么。通過舊知自然遷移，新知與舊知順利建立了意義的聯系，學生獲得了數感的培養，運算能力和推理意識也獲得了發展。

（二）活動探究，在感悟中理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，要深化教學改革，強化學科實踐，注重“做中學”，引導學生參與學科探究活動，體會學科思想方法。在教學的過程中，教師要讓學生動手實踐探究，讓學生在實踐的過程中學會思考，在思考中感悟，進而內化為自身的理解。

如“長方形的面積”一課的教學，教師在引導學生理解長方形面積計算方法時，采用分步操作的策略，讓學生邊操作邊探究，最終達到對長方形面積計算方法的理解。教師先提問：大家能用自己手中的小正方形來探究老師為你們準備的長方形的面積嗎？

活動一：探究1號長4厘米，寬2厘米的長方形的面積（塊數夠滿鋪）。

學生通過密鋪后發現，8個小正方形正好可以把1號長方形鋪完，推導出長方形的面積是8平方厘米。

活動二：小組內探究2號長是6厘米，寬是2厘米的長方形的面積（不夠滿鋪，但是夠鋪長和寬）。

學生通過動手發現，小正方體不夠，這時教師說：“你如果遇到困難，可以找一下別組同學幫助或合作，還可以發揮想像鋪一鋪?！睂W生通過動手探究、小組交流、獨立思考和前面的操作經驗后發現，雖不能鋪完，但是通過鋪長和寬也可以算出這里正好可以鋪12個小正方形，所以它的面積是12平方厘米。

活動三：小組內探究3號長方形的面積（提示：只用一個小正方形測量）。

通過探究，學生發現雖然沒有足夠的小正方形，但是可以用這個小正方形量出這個長方形的長可以鋪8個，寬可以鋪4個，得出可以鋪8×4＝32個，所以長方形的面積是32平方厘米。

活動四：只出示長方形的長7厘米和寬5厘米，沒有小正方形，讓學生求它的面積。

有了前面的動手操作與思考，學生更能理解用“長×寬”可以求出這里有多少個面積單位，也就是長方形的面積。

本節課的教學，教師設計了分步動手實踐探究，不僅讓學生明白了長方形的計算方法，還讓學生理解了長方形面積計算方法的本質，即計算面積單位的個數。這個教學過程，動手實踐與思考結合，讓學生在實踐中理解，在理解中感悟，從而完成了一次內化認識的過程，增進了學生對數學知識本質和方法的理解，有效促進了學生幾何直觀和空間觀念的發展。

（三）交流表達，在梳理中理解

新課標指出，通過豐富的教學方式讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中，感悟基本思想、積累基本活動經驗。課堂是一個討論各種可能選擇的策略和關于數學概念的不同觀點的對話共同體。學生僅僅得到答案是遠遠不夠的，他們要能夠表達出自己所使用的策略，并解釋出為什么這樣做。交流與表達能幫助學生梳理自己的思維，在表達與傾聽過程中內化認知，實現對數學知識的理解。

如在“整數、小數、分數一致性”的教學中，為幫助學生理解數認識的一致性，教師引導學生從數的讀法角度進行理解，于是開展了“0.34為什么不讀成零點三十四”的問題交流。

師：為什么0.34不讀成零點三十四呢？

生1：0.34如果讀成零點三十四，那么0.340就應該讀成零點三百四十了，但是0.34＝0.340，讀法卻不一樣，后面的0可以增加，讀法一直會變化。

生2：我覺得不能讀成零點三十四。0.34的3是3個0.1，不是3個十，不能讀成三十四。

生3：34讀成三十四是因為3在十位，表示3個十，所以讀成三十四，0.34的3不在十位，所以不能讀成零點三十四。

生4：34表示3個十、4個一，所以讀成三十四；128有1個百2個十、8個一，所以讀作一百二十八。在讀數的時候，有幾個百就讀幾百，有幾個十就讀幾十，有幾個一就讀幾。

師：看來讀數的時候，我們既讀了數位上的數字，還讀了相應的……（生：計數單位）。小數的讀法呢？

生5：小數點后面是幾就讀幾，按著順序讀就可以了。

生6：小數讀出計數單位也是可以的，0.34就讀成零點三“十分之一”、四“百分之一”。

生7：不是不行，有點麻煩了。

生8：而且讀的時候如果節奏把握不好，還容易弄混，三個十分之和三十分之一不是一回事。

師：確實讀起來比較麻煩。那整數能不能跟小數統一，不讀計數單位呢？

生9：也不行，讀完了都不清楚是多少了。

生10：我是這樣想的，小數有一個小數點，從小數點開始向右第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，讀了小數點就提醒我們數位了，不讀出來也能知道數字在哪一位上。

課上，通過師生交流研討，學生對問題有了進一步思考，有效促進了學生認知的發展。隨著交流的深入，思考也隨之深入，問題也梳理得越來越明朗。教師引導學生從多個角度進行知識梳理，最終理解整數和小數都是基于計數單位和單位個數來認識的，學生的符號意識也得到發展。

（四）引導總結，在建構中理解

在數學學習的過程中，學生的學習常常是零碎的，所掌握的也多是碎片化的知識。這些知識如一顆顆散落的珍珠，如果教師不能引導學生作歸納、提煉和總結，就好比沒有把這些珍珠串起來，最終也變不成一條光彩奪目的珍珠項鏈。因此課堂教學中，教師要引導學生做出適時提煉和總結，以促使學生認識從操作層面上升到知識層面，系統整合零散的知識，幫助學生內化認識并逐步形成概念，開展知識的自我建構，最終實現數學理解。

如在“認識幾分之一”一課中，教師設計第一個活動是用手中的圖形通過折一折、涂一涂的方法，表示出圖形的二分之一。然后，展示學生的作品：

學生展示匯報完了之后，教師提問：這三個圖形折法不同，但是為什么都可以用二分之一來表示呢？

生答：因為都是把它們平均分成了兩份，一份就是它的二分之一。

師小結：看來無論怎樣分，分成什么樣的形狀，只要是把它平均分成二份，一份就是它的二分之一。

經過教師引導，學生有了對比和內化過程，學生的認知便從操作層面上升到用符號表示層面，即一個長方形的二分之一進階到長方形的二分之一認識層面上，達到對分數意義的初步理解，提升了學生幾何直觀、抽象能力和符號意識。

（五）實踐應用，在運用中理解

學生對知識的理解更多地體現在靈活運用上。在教學中，教師要創設不同情境，讓學生利用所學知識遷移到不同的情境中解決實際問題，實現對數學知識的全面理解。

如“平行四邊形的面積”一課中，教師在引導學生通過數方格的方法和剪拼的方法總結平行四邊形的面積計算方法后，為幫助學生全面理解和掌握平行四邊形的計算方法，故設計以下練習題：

1.計算下面圖形的面積。

2.計算下面草地面積約多大？

（1）你能算出這塊草地的面積嗎？

（2）如果知道這塊草地的長約25米，高約12米，這塊草地的面積是多少平方米？

這兩道練習題的設計，很好地體現了階梯性，通過變換情境幫助學生把平行四邊形面積計算方法遷移到新的情境中加以應用。學生認識到計算平行四邊形的面積與計算長方形面積一樣，都是計算圖形里含有多少個面積單位，要運用公式計算平行四邊形的面積時，就要先找出平行四邊形的底和高，而且還必須是相對應的底和高，這樣進一步加深了學生對平行四邊形面積計算方法的理解，增強了學生的模型意識和應用意識。

綜上所述，實現小學數學理解是落實新課標、關注學生學科核心素養發展的具體體現。小學數學教學要改變以往以教師為主導的灌輸式教學模式，強化引導學生關注知識的起因、發展和走向，引導學生進行遷移建構，通過遷移已知、活動探究、交流表達、引導總結、實踐應用等教學路徑，實現對數學知識的理解、發展核心素養的目標。

作者單位  海南省文昌市教育研究培訓中心