分類討論思想是針對具有一般邏輯性、綜合性和探究性較強問題，以分類討論的形式，解決問題的思想。教師在授課中滲透分類討論思想，可以“化繁就簡、化難為易”，幫助學生深入理解抽象的數學理論知識?！读x務教育數學課程標準》指出，發展學生的思維能力是促進學生學習進步的有力手段。在教學中滲透分類討論思想，有利于引導學生發散思維，拓寬學生的認知領域，促進其綜合素質發展。目前，在初中數學教學中存在教師忽視培養學生思維能力的問題，原因是在應試教育理念影響之下，教師過度看重習題教學而忽視思想培養。所以，教師應當依據研究對象本質屬性的異同，科學滲透分類討論思想，鼓勵學生分類研究和解題，以提高學生思維的條理性和嚴謹性。在初中數學課程中滲透分類討論思想，能夠讓學生的思維得到鍛煉，有利于降低抽象數學知識的學習難度，讓學生可以針對各種研究對象，以分類的形式討論問題，使之能夠在發散思維的同時，實現學習進步和思維發展。分類源于實際生活，是一種基本邏輯方法，能夠幫助學生將抽象、復雜的數學問題直觀呈現出來。因此，教師要重視學生分類討論思想的培養，積極創新教學方式，為分類討論思想的滲透提供切入點，不斷提高數學教學實效。

一、分類討論思想概述

（一）基本概念

問題的求解途徑及其轉化方法是相對統一的，按照問題性質及其處理方法，把需要探討的問題分為若干類，然后轉化成若干個小問題并加以處理，從而逐個展開探討，這就是分類討論思想。由于數學分析的方法也有其自然形成的環境，因此數學分析手段的范圍是相對比較固定的，當學生面臨數學分析困難的情況時，其無法采用常規的方式進行解決，因此，利用分類討論思想就可以將數學問題按照“每級分類、同標準劃分”的方式進行分類，循序漸進地進行求解，這種解決方法便是分類討論。

（二）分類原則

分類討論思想在實際應用的過程中，需要遵循以下四項原則。第一，同一性原則。我們按照統一標準，將問題進行劃分。比如：在三角形分類中，如果將三角形單純分為銳角、直角、鈍角、不等邊、等腰三角形，這種分類不符合同一性原則要求，原因是分類的標準要具有同一性。第二，相稱性原則。即確保分類相稱，在問題劃分后，外延的子問題要與原問題相同。第三，互斥性原則。要保證分類后的每個子問題之間互相排斥，避免影響正常解題思路。第四，層次性原則。指按照一次分類與多次分類相結合的方式進行討論。一次分類是指一次性分類討論問題，多次分類是將分類后的子問題視作母項，據此再進行分類，直至滿足解題需要為止。

（三）討論類型

在初中數學中，分類討論主要有以下三種類型。首先，“數、式”的分類討論。具體包括實數分類、絕對值、算術平方根、函數及圖像、函數增減性、函數變量取值范圍、含參方程、待定參數的變化范圍、含參不等式等。

其次，“三角形”的分類討論。其中，又細分為三大領域，領域一：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形中，與角、邊、高有關的分類討論。領域二：直角三角形問題中，未告知直角邊、斜邊的，這種問題需要結合實際情況進行討論。在無法確定直角的情況下，相關問題需要先進行分類討論，再求解。領域三：在相似三角形中，對應邊、對應角不確定的兩種情況，也需要分類進行討論。

最后，“圓”的分類討論。其中，涵蓋點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、兩弦與直徑的位置關系、弦所對弧的優劣性質。

（四）討論步驟

初中數學分類討論的基本步驟如下：第一，確定分類討論的對象，并分析討論對象的取值范圍。第二，根據相關標準對討論對象進行合理分類。第三，根據具體的步驟對討論對象進行論述，逐步解決分類討論問題。第四，對討論內容進行對標，并整理出結論。

二、初中數學教學中存在的問題

（一）教學模式相對落后

就初中生而言，數學學習成績對綜合學習情況有直接影響，一些教師為了提高學生的學習成績，選擇“滿堂灌”的教學模式，導致學生的探究熱情很難被激發，在被動學習中形成消極的固化思維。在相對落后的教學模式中，學生的數學成績雖然有所提升，但是學生對數學知識結構的了解和掌握并不充分，這不利于他們進行高階知識的學習，甚至會影響其數學思維的進一步發展。

（二）教學準備工作不足

教學準備工作是決定教學質量的關鍵因素，一些教師往往只注重數學公式、性質、定理的應用，在備課環節未能著眼于學生的思維發展來設計教案，導致教學準備工作不足，很難幫助學生鞏固學習成果，不能有效培養學生的自主學習能力和解決問題能力。

（三）教學缺少情感交流

初中階段學生正處于思維發展與身心成長階段，一些教師在教學過程中，只關注學生的成績，未能重視學生的思維以及心理發展變化，導致師生之間缺乏互動，很難促進教學相長。教師與學生的互動交流減少，會直接影響課堂教學氛圍，進而導致學生難以提起與教師主動溝通的欲望，不利于其個性發展。

（四）合作教學流于形式

小組合作學習是培養學生團隊意識和提高學習積極性的重要手段，但在具體的實施環節，一些教師未能注重強化引導，導致小組合作學習實效性降低。由于部分初中生缺乏良好的自控能力，其在學習中會產生依賴性，甚至會形成依賴性人格，這一點使小組合作教學流于形式。長此以往，課堂教學氛圍看似熱鬧，學生卻無法形成良好的思維品質，不利于促進教學質量提升。

三、分類討論思想在教學中的滲透意義

（一）提高解題的效率與正確率

分類討論思想能夠幫助初中生在學習數學知識的過程中，綜合考量各種問題情況，從而進行合理的分析與討論，把握正確解題方向，抓住重點因素進行分析和論證，深入考慮問題可能包含的多種情況，由此提高解題的正確率與效率。在應用分類討論思想的過程中，教師指導學生有意識地對數學內容進行分類和二次研究，甚至能夠在論證、整合探究知識的過程中，增強抽象邏輯思維能力。由于初中數學知識內容相對復雜、抽象，學生在解決數學問題的過程中，會面臨較大阻礙。因此，在教學中教師要滲透分類討論思想，提升學生的抽象思維能力，使之能夠在教師的指導下分類討論問題，這有利于提升學生學習探究的精準度，促使其高效解決日常生活中常見的數學問題。

（二）提升思維品質與綜合能力

分類討論思想常用于解決概念、法則、定理問題當中，教師科學滲透分類討論思想，能夠為課堂注入活力，讓學生積極主動思考，使之學習思考更具層次性、邏輯性。在分類討論的過程中，初中生可以自覺形成清晰、明確思路，促進思維品質提升，也能夠結合具體情況來進行探討，明確自我學習狀況，結合問題來進行分類討論，逐步運用所學知識快速、有效地解題，促進思維成長的同時，提高數學綜合學習能力。

四、分類討論思想在初中數學教學中的滲透策略

（一）概念學習，培養分類討論意識

分類討論思想可以幫助學生提高問題分析意識，促進數學學習能力的提升。教師要認識到培養學生分類討論思想的重要性，結合數學教材概念知識，創設能夠引發學生思考的情境，科學滲透分類討論思想，讓學生在情境中討論，不斷啟發和誘導學生，逐步在學生學習概念的過程中，促進其思維品質的提升，讓其能夠明確分類討論思想本質，形成優秀的分類討論意識。

例如，在講解華師大版初中數學“一元二次方程”內容的過程中，首先，對于一元二次方程一般式中涉及“ [α≠0]”的規定，教師要引導學生分析“[α=0]”與“[α≠0]”情況下，一元二次方程的變化，讓學生在學習中形成良好的分類討論意識，并明確關于[x]的一元二次方程的限制條件。然后，教師要隱藏“一元二次”四字，引導學生自主分析方程“[mx-（m-1）x-2（3m-1）=0]”

性質以及求解方法。讓學生分析經過變形的“概念式”，歷經對概念中關鍵字詞及補充條件的理解過程，分“[α=0]”與“[α≠0]”兩種情況進行討論，以理解一元二次方程概念。最后，教師要揭示分類討論本質，有序、有目的地滲透分類討論思想，讓學生自主建構一元一次方程概念知識，提高分類討論意識。在此基礎上，教師要結合問題中的數量關系，讓學生列一元一次方程并嘗試求解，學生能夠在建構知識和求解的過程中，逐步領悟和接受“分類討論思想”，也理解“分類標準統一，不得重復或遺漏”的重要性。

（二）理論推導，引領分類討論原理

在理論推導中滲透的分類討論思想，可以讓學生在掌握數學性質、公理的基礎上，自主討論數學原理，掌握法則、定理、公式的推導方法，形成良好的思維品質。教師要順應學生的身心發展規律，逐步滲透分類討論思想，揭示數學性質，引導學生從不同的角度進行分類討論，從而構建有益于學生思維發展和學習進步的高效數學課堂， 為分類討論思想的滲透提供不同切入點。

例如，在講解華師大版初中數學“圓的認識”的過程中，首先，教師可以利用學生熟悉的正比例函數圖形性質等問題，引導學生分類進行討論，使之能夠明白分類討論思想的應用不僅僅局限于特定領域。然后，引申出圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，讓學生結合自己先前對正比例函數圖形性質等問題進行思考，分類討論“根據圓心相對于圓周角的位置，分三類情況進行推導”的意義，由此激發學生學習探究的熱情。在學生自主推導的過程中，教師可以利用多媒體直觀為其提供與上述問題相關的三種圖形，讓學生自主畫圖測量、分類討論問題，使之能夠經歷由一般到特殊、從特殊到一般的思維過程，體會分類證明的目的和優點，深入理解圓周角定理。最后，教師要總結學生的推導過程，將分類的依據視為解題的附加條件，引導學生先思考圓心相對于圓周角的不同位置，再根據不同位置推導“一般情況”，引導學生推導弦切角定理，提高學生的分類討論意識，使之能夠體會分類討論原理的重要性。

（三）單元復習，提煉分類討論思想

單元復習內容較多，以分類討論的方式解決實際問題，可以促進復習效率提升，有助于學生提煉分類討論思想，在反思學習過程時，逐步梳理知識結構，形成優秀的數學思維，養成正確的復習習慣。教師要著眼于學生的基礎知識體系構建，引導學生分析所學知識中所蘊藏的數學思想方法，將教材單元小結變為“知識+分類討論思想”形式的內容，揭示單元數學知識本質規律，幫助學生加以提煉和概括，使之真正掌握分類討論思想的方法。

例如，在講解華師大版初中數學“解一元一次不等式”的過程中，首先，教師要引導學生復習一元一次不等式的有關概念，展示一元一次不等式的一般解法，為學生提供不同習題讓學生自行求解，并用數軸表示一元一次不等式的解集。讓學生在獨立思考的基礎上，解決相對簡單的一元一次不等式問題，在畫數軸的過程中，培養其優秀的數形結合思想。然后，教師要運用類比法引導學生分析問題“當[x]為何值時，代數式[x+4]/3與[3x+1]/2的值的差大于1”，使學生通過復習單元知識，懂得解一元一次不等式就是將不等式變形為[“x﹥α（x≥α）]、

[x﹤α（x≤α）”]的過程。最后，教師要引導學生思考一元一次不等式與一元一次方程的聯系與區別，在單元復習中提煉分類討論思想，讓學生通過分類思考明白解一元一次不等式的依據，在類比解方程的基礎上，深入復習解不等式的一般步驟，形成良好的分類討論思想，熟練解決一元一次不等式問題。在課后作業中，教師可以布置與單元復習相關的解題作業，密切圍繞“提煉分類思想”，讓學有余力的學生進行深入探究，鼓勵全體學生通過完成作業，逐步形成良好的分類討論思想，以此加深對所學知識的印象。

（四）解題教學，創新分類討論方法

“問題是學習數學的出發點和落腳點，學習數學就必須要解題?！痹诮忸}教學中滲透分類討論思想，有益于鍛煉學生的數學思維，使之在探究解題規律的過程中，提高創新思維能力。教師要采用一題多解、一提多問的方法，引導學生進行討論和思考，以培養他們的探究能力。例如，在講解華師大版初中數學“等腰三角形”的過程中，首先，教師要列舉與等腰三角形可變性相關的討論問題“圖形位置不能確定，該如何求解”，并呈現習題“已知在等腰三角形△[CAB]中，[∠ACB=90°，AC=BC=1，]點[P]在斜邊[AB]上移動（點不與點[A、B]重合），以P為頂點作[∠CPQ=45°]，射線[PQ]交邊[BC]邊與點[Q]。[△CPQ]能否是等腰三角形”，學生會嘗試統一處理，但會遇到較大困難。此時，教師采取一題多問的方式，提出問題“如果[△CPQ]是等腰三角形，試求出[AP]的長，如果不能，簡要說明理由”并引導學生分類討論，幫助其正確求解，使之能夠舉一反三。又如，在講解華師大版初中數學“二次根式”的過程中，教師為學生呈現一道化簡習題

，讓學生在“由數量大小不確定”引起的討論中，回憶二次根式性質

，在分類討論中化一般為特殊，變抽象為具體，將原式化簡

，討論多種解題情況，得到

、無解([x]﹤1）”三種結論，不斷提高學生舉一反三的能力，實現觸類旁通，在應用分類討論思想的過程中，有清晰的解題思路，繼而提高解題效率與正確率。

分類討論思想作為一種重要的數學思維方式，能夠促進初中生的思維能力提升和素質發展。教師應該深刻認識到分類討論思想對于學生未來創新發展的積極影響，并在確定教學目標和選擇教學方法時，著重培養學生的分類討論思想意識。同時，在結合初中生學習特點和身心發展規律的基礎上，采用靈活多樣且有效的教學方法進行授課，始終堅持循序漸進的原則，激發學生獨立思考的意識，使其能夠掌握數學中的分類討論思想，以此培養學生的創新精神和探索精神。

作者單位   甘肅省天水市秦州區華歧中學