史寧中教授在《基本數(shù)學(xué)思想18講》一書(shū)中說(shuō)：“生活中的故事要比自然界的故事更加繁雜。造成繁雜的原因往往是一些說(shuō)不清、道不明的人為因素的干擾。因此，討論生活中的數(shù)學(xué)模型要比討論自然界的數(shù)學(xué)模型更為困難。即便如此，我們?nèi)匀幌Ｍ懻撋钪械臄?shù)學(xué)模型，因?yàn)檫@些模型能夠充分展示數(shù)學(xué)是如何成為人們生活中不可缺少的工具。”數(shù)學(xué)建模就有這樣一種魔力，能夠讓課堂中的教師和學(xué)生，課堂外的伙伴和隊(duì)友感受到數(shù)學(xué)模型解釋甚至改造世界的魅力。很多學(xué)生在接觸過(guò)數(shù)學(xué)建模之后，表現(xiàn)出前所未有的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。那么，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開(kāi)展、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的落實(shí)和提升是不是一帆風(fēng)順呢？其實(shí)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在高中階段的提升，無(wú)論是對(duì)于教師還是學(xué)生都不是一件容易的事，到底難在哪里？怎么突破難點(diǎn)？教學(xué)中一個(gè)“另類(lèi)回答”給了我很多啟示。

人教A版數(shù)學(xué)必修一在“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”一章中，提供了大量與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的素材，讓學(xué)生進(jìn)行抽象概括。在函數(shù)的應(yīng)用中，將實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生充分理解其數(shù)學(xué)表達(dá)的含義，同時(shí)掌握用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過(guò)程。在“指數(shù)函數(shù)的概念”這節(jié)課中，教材是按照概念形成的一般過(guò)程進(jìn)行的，首先從景區(qū)游客人次增長(zhǎng)，碳14衰減等具體背景出發(fā)，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其中的指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰減的變化規(guī)律，然后歸納其共性得到指數(shù)函數(shù)的一般表達(dá)式。教學(xué)中要求教師能夠結(jié)合素材，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、構(gòu)建指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)模型，確定模型中的參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的來(lái)源與應(yīng)用，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，以提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

那么，哪一個(gè)過(guò)程在教學(xué)中是最困難的呢？是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解，還是數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建？在開(kāi)展實(shí)際教學(xué)之前，筆者認(rèn)為計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型是最難的，但實(shí)際教學(xué)中我的這一想法改變了。下面，以“指數(shù)函數(shù)的概念”案例1“景區(qū)旅客人數(shù)增長(zhǎng)問(wèn)題”為例，進(jìn)行說(shuō)明。

案例：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式，由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門(mén)票價(jià)格，而B(niǎo)地取消了景區(qū)門(mén)票，表格給出了A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次，以及逐年增加量（表格略）。

通過(guò)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考，筆者列出五個(gè)自學(xué)問(wèn)題：（1）案例中的變量有幾個(gè)？分別是什么？它們之間是否具有函數(shù)關(guān)系？（2）通過(guò)分析A、B兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？（3）能否做出A、B兩地景區(qū)游客人次變化的圖像，根據(jù)圖像結(jié)合旅游人次的增加量，說(shuō)明兩地景區(qū)游客人次的變化情況？（4）能否求出兩地景區(qū)游客人次隨時(shí)間（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式？（5）既然“增加量”不能刻畫(huà)B地景區(qū)人次的變化規(guī)律，能不能換一個(gè)量來(lái)刻畫(huà)？試一試增長(zhǎng)率，即從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？此時(shí)，能寫(xiě)出游客人次隨時(shí)間（經(jīng)過(guò)的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式。

通過(guò)20分鐘的自學(xué)，筆者對(duì)學(xué)生提交的自學(xué)學(xué)習(xí)單進(jìn)行分析，在五個(gè)具體問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生利用已知數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明圖像的變化規(guī)律，并從圖像得到啟發(fā)去處理數(shù)據(jù)，從而以數(shù)形結(jié)合的方式發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題變化規(guī)律，這個(gè)過(guò)程的表現(xiàn)是很好的，這充分說(shuō)明高一學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的能力基礎(chǔ)。隨后，我問(wèn)學(xué)生：“大家認(rèn)為，A地提高景區(qū)門(mén)票價(jià)格、B地取消景區(qū)門(mén)票的初衷是什么？”沒(méi)想到一問(wèn)激起千層浪，有學(xué)生回答：“A地提升門(mén)票價(jià)格的目的是為了增收，B地取消門(mén)票的目的是為了吸引游客，通過(guò)其他消費(fèi)提高景區(qū)收入。”還有的學(xué)生回答：“A地提升門(mén)票價(jià)格的目的是為了限流，即限制游客人數(shù)。B地取消門(mén)票的原因是景區(qū)游覽價(jià)值不高。”對(duì)于后者的“另類(lèi)答案”，我一方面感到詫異，一方面也深以為然，我明白這個(gè)答案的產(chǎn)生，不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)缺失導(dǎo)致的，更深層次的原因在于學(xué)生對(duì)生活現(xiàn)象的關(guān)注不夠、思考不夠?qū)е碌摹Ｓ谑牵槍?duì)這個(gè)問(wèn)題，我給學(xué)生布置了一個(gè)課后任務(wù)，通過(guò)查詢(xún)、訪(fǎng)談了解下面內(nèi)容：（1）旅游景區(qū)游客容量管理的方式。（2）近年來(lái)，景區(qū)對(duì)門(mén)票價(jià)格調(diào)控的各種舉措及效果。通過(guò)一周的學(xué)習(xí)，在后面的分享中，學(xué)生指出，調(diào)節(jié)客流時(shí)間分布，平衡季節(jié)旅客人數(shù)，確實(shí)會(huì)采取季節(jié)票價(jià)調(diào)節(jié)客流時(shí)空分布，但通常是門(mén)票價(jià)格在旺季時(shí)提高，淡季、平季時(shí)降低，跟大家所想的“提高門(mén)票是為了限流”并不符合。一般情況下，景區(qū)限流的方式有多種，如一旦景區(qū)飽和，則不再對(duì)外出售門(mén)票，停止游客進(jìn)入；也可以設(shè)計(jì)多條游覽線(xiàn)路實(shí)施景區(qū)內(nèi)分流；也可以擴(kuò)大景區(qū)容量，提高接待能力。

更讓我驚喜的是，學(xué)生通過(guò)查閱和學(xué)習(xí)，提出了這樣的觀(guān)點(diǎn):提高門(mén)票價(jià)格看似維持了短期的利潤(rùn)，卻限制了旅游市場(chǎng)在創(chuàng)新服務(wù)、提升旅游品質(zhì)和周邊產(chǎn)品開(kāi)放等方面的動(dòng)力。取消門(mén)票的同時(shí)，也應(yīng)盡早思考如何完善景區(qū)內(nèi)部設(shè)施，提升景區(qū)周邊消費(fèi)的吸引力。有一位同學(xué)說(shuō)：“我好像突然明白了之前做過(guò)的問(wèn)題里的固定成本、機(jī)動(dòng)成本、宣傳費(fèi)用等難懂的名詞是什么意思了。”

數(shù)學(xué)建模在高中教學(xué)中的現(xiàn)狀是，經(jīng)過(guò)多輪次的培訓(xùn)和學(xué)習(xí)，教師已然認(rèn)可了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)的必要性和重要性，原因是大多數(shù)一線(xiàn)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育，必須通過(guò)完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，而完整的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)又需要一定的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，這樣的理解讓教師內(nèi)心滋生出對(duì)數(shù)學(xué)建模的畏懼，阻擋了大家對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提升的進(jìn)一步思考和探索。筆者認(rèn)為，初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以分為四個(gè)層次:層次一，立足于教材中有背景的問(wèn)題，不是看到背景而是理解背景，這就需要教師適度給學(xué)生提供與問(wèn)題背景相關(guān)的閱讀材料，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的產(chǎn)生是基于背景下的合理抽象，背景是數(shù)學(xué)問(wèn)題的源頭而不是裝飾，教學(xué)中教師要讓學(xué)生獨(dú)立閱讀，理解，抽象，建模，求解；層次二，對(duì)教材中有背景的問(wèn)題進(jìn)行改編，將理想化的條件適度改為開(kāi)放性的條件，讓學(xué)生重新經(jīng)歷建模過(guò)程；層次三，對(duì)教材中的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)進(jìn)行專(zhuān)題研究。張思明指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)建模從數(shù)學(xué)的意義上可以理解為‘在中學(xué)做的數(shù)學(xué)建模’專(zhuān)業(yè)要求不高，而從課程的角度可以理解為在中學(xué)實(shí)施的特殊課程形態(tài)，它是一種以‘問(wèn)題引領(lǐng)，操作實(shí)踐’為特征的活動(dòng)性課程。”這樣的專(zhuān)題課不能采用傳統(tǒng)的講授法進(jìn)行教學(xué)，我們可以結(jié)合建模學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、探究學(xué)習(xí)和主題閱讀等方式，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的完整過(guò)程；層次四，讓學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后提出問(wèn)題，再進(jìn)行建模活動(dòng)，當(dāng)然，這一層次對(duì)學(xué)生和教師的要求是最高的，學(xué)生將要經(jīng)歷從數(shù)學(xué)知識(shí)的直接應(yīng)用與滲透，到自主進(jìn)行完整的建模活動(dòng)的這樣一個(gè)過(guò)程。由于工作量大，學(xué)生是存在困難的，這時(shí)小組合作的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)出來(lái)了，在小組長(zhǎng)的協(xié)調(diào)組織下，小組成員分工明確，相互幫助、支援，做到了人人參與，人人有事干，讓原本龐大的工作量有了可實(shí)施性。針對(duì)很多教師對(duì)數(shù)學(xué)建模底氣不足、經(jīng)驗(yàn)不夠的問(wèn)題，數(shù)學(xué)教師也意識(shí)到這并不影響師生共學(xué)、師生共做數(shù)學(xué)建模，教學(xué)中教師給學(xué)生呈現(xiàn)的不僅僅是自己的學(xué)習(xí)積累，更應(yīng)該是自己的學(xué)習(xí)能力，因此重視數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的學(xué)習(xí)路徑和方法，讓學(xué)生和教師在共同的學(xué)習(xí)過(guò)程中得以提升。

如此，學(xué)生的學(xué)習(xí)不再是被動(dòng)地接受知識(shí)，而是在教師有意識(shí)的引導(dǎo)下，通過(guò)合作探究主動(dòng)參與到整個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。在放手讓學(xué)生主動(dòng)去學(xué)的同時(shí)，并不意味著要將教師的作用排除在課堂之外。在開(kāi)題環(huán)節(jié)上，學(xué)生需要教師引導(dǎo)去分析課題，指導(dǎo)如何撰寫(xiě)開(kāi)題報(bào)告；在做題環(huán)節(jié)，學(xué)生由于知識(shí)水平的不足，需要教師引導(dǎo)去發(fā)現(xiàn)短板，以及運(yùn)用哪種方法去檢驗(yàn)函數(shù)模型的優(yōu)劣。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模之重要必然決定了數(shù)學(xué)建模之繁復(fù)，但只要具有數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，按照以上四個(gè)層次逐層遞進(jìn)，不斷引導(dǎo)學(xué)生探尋解決問(wèn)題的路徑，促進(jìn)反思與批判性思維的形成，最終使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)在自己的日常生活及未來(lái)職業(yè)發(fā)展中的重要作用，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培育就不再是夢(mèng)想。

作者單位   陜西省銅川市耀州中學(xué)

付　偉