蘇霍姆林斯基曾說過：“兒童的智慧全在他的指尖上。”即“做中學”，但如果僅將“做”理解為“動手操作”的話，難免狹隘。廣義講，學生親歷一切數學學習活動的過程都是在“做數學”。在多年的一線教學過程中，筆者從教學實踐的角度提出“做數學”的操作性概念，在“指尖”數學、“口頭”數學及“筆尖”數學的系列化實踐中積累了一定經驗，有效促進了學生學科思維、跨學科思維、高階思維、創新思維、行動思維和反思思維的提升。

“筆尖”數學，顧名思義指以“動筆寫作”為主要方式的數學學習活動，是“口頭”數學和“指尖”數學的進階與補充，屬于“做數學”活動的高級階段。教師熟悉的數學日記、數學小論文、數學作文、思維導圖、畫數學等都可歸入此類。其中，數學日記主要應用在小學，以中、高年級居多，它強調以日記的形式把數學學習內容、學習過程中的困惑、收獲及思考等記錄下來。數學小論文更適合初、高中學生，小學高年級也偶有采用，它重在以小論文的形式，研究數學學習中遇到的知識或用數學的方法解決生活中的實際問題。在小學，數學日記和數學小論文常以數學作文的形式出現。高年級的“筆尖”數學，著力于引導學生發現生活與數學的連接點，梳理數學知識間的異同點，洞察知識的本質，并理順其邏輯關系，以寫促做，以寫促思，鼓勵學生像專家那樣運用大概念進行結構化思考，從而豐富學生學習數學的形式，提高學生學習數學的興趣，拓寬學生數學核心素養的培育路徑。

 一、“筆尖”數學活動的實施路徑

從2018年開始，筆者在所帶班級開展了“筆尖”數學教學嘗試，最近兩年共整理學生作品80余篇，有近20篇發表在《數學大王》《數學小靈通》《智力數學》等雜志上，逐步摸索了一條“寫作—發表”雙線并行的實踐路徑。寫作是發表的前提，作品的發表可以激發學生寫作的熱情，從而實現“以發促寫”的良性循環。

一般而言，小學生的數學寫作與語文類似，大致會經歷選題、構思、撰寫初稿、修改、定稿等五個環節。數學寫作更注重用數學眼光觀察現實世界，用數學思維思考現實世界，用數學語言表達現實世界，即更強調理性思維。其中，選題是所有環節的基礎，好的選題可以起到事半功倍的效果，文章通常按照“敘述+議論”的方式展開，完成初稿后進一步修改，一般先由學生對文中的錯別字、標點及語句等進行自改或生生互改，必要時由教師或家長結合文章論述邏輯、立意等進一步指導，最后交學生修改定稿。在整個過程中，教師和家長要到位而不越位，既要適時對寫作困難學生加以指導及引領，又不能越俎代庖。定稿后就要考慮發表了，即公開展示作品。教師可以根據文章質量采取班級群定期推送、張貼至班級“數學角”、收入“筆尖”數學成果集、擇優投稿相關雜志發表，以及召開不同范圍的成果發布會等方式，讓各個層級的作品都有展示的平臺，力爭使人人有作品、人人可發表。另外，發表的作品隨時可能進入下一輪修改的環節，以促使其不斷完善。需要說明的是，各環節并非一成不變、線性推進的，而是根據學生及作品的實際情況合理增減和取舍，修改過程也就成為發展學生學科思維的良好契機。

為了提高“筆尖”數學活動的教育效果，教師具體實施時須立足學生實際，遵從面向全體與部分推優相結合的原則，發揮“榜樣”示范作用；堅持統一命題與自主選題相結合的原則，調動學生的主觀能動性；落實學生主體與家校合力相結合的原則，促使學生素養拔節。

二、“筆尖”數學選題指導實踐

高年級“筆尖”數學的選題要在堅守學科屬性的基礎上，突破僅僅記錄數學學習過程的低級階段，突出“數學眼光”“數學思維”和“數學表達”，既要關注學生在學習過程中對所遇數學問題的深入思考，又要重視學生對生活問題的思考和表達。

1.數學問題的再思考

學生學習數學的過程中會遇到很多需要進一步探究和思考的問題，這些問題一方面源于教材或相關拓展，另一方面離不開課外學習。因此，教師要善于引導學生對所學所見進行深入思考并嘗試寫作，這樣學生就能慢慢學會尋找寫作素材。

（1）教材上的思考題、實踐活動等大都可以成為絕佳的寫作素材。例如，在講授六年級“圓柱和圓錐”一課后，北師大版教材第15頁有一個“用六張長16cm，寬4cm的長方形紙”卷圓柱的實踐活動。筆者在組織學生充分活動之后，引導學生選擇不同切入點完成寫作，學生表現出極大的積極性。其中李同學發現“圓柱體的底面半徑擴大為原來的2倍，高縮小為原來的[12]，變化后圓柱體的體積擴大為原來的2倍”，并推測“如果這張長16cm，寬4cm的長方形紙如此不斷剪開、拼接，所卷成的圓柱體的體積將不斷增大”。面對這張小小的長方形紙，他在文末發出“感覺就像捧著一個世界”的感慨，這篇《一張不可思議的紙——“探究圓柱奧秘”實踐活動》發表在2020年《智力數學》第11期。張同學以《善思辟“蹊徑”》為題，圍繞“如果一張A4紙最多剪一刀（沿直線），能拼接出多少種圓柱體？體積又是多少？”進行探究，通過對圍出的8種圓柱體的體積計算得出“用同一張紙做圓柱，側面積相等的情況下，底面周長越大，高越小，體積越大”的結論，并嘗試用代數的方式對其進行證明，發表在2021年《數學大王》第09期。

（2）教師對教材內容的適度拓展也能激發學生寫作的熱情。例如，在講授北師大版四年級《除法》單元后，筆者引發學生質疑“除法豎式一般從高位除起，能否從低位除起”，學生興趣盎然，展開深入討論后，明確四則運算應“雙向可行”，即整數除法豎式既可以從高位除起，也可以從低位除起，但由于求簡使得人們規定除法豎式從高位除起。豆同學據此寫出《除法，也可以從低位算起》一文，頗受編輯老師推崇，很快發表在2022年《數學大王》第06期。

（3）課外學生感興趣的數學內容也可以成為寫作的素材。例如，劉同學對“三階幻方”情有獨鐘，他將與爸爸玩“三階幻方”，以及思考的過程寫出《三階幻方的奧秘》一文，發表在2022年《數學大王》第06期，文章結尾“在以后的學習中，我要更加努力，刻苦鉆研，探索更多的數學奧秘”讓人感同身受。宋同學通過《我用方程讀古詩》一文，記敘了自己課外閱讀時用方程解決“古詩謎題”的嘗試，發表在2023年《智力數學》第06期，展現了數學“詩意”的一面。

2.生活問題的數學視角

（1）用數學的眼光看生活。“疫情”期間，被困陜西師范大學校園的學生常常在操場“走圈”，王同學與媽媽在鍛煉時發現了“相遇”問題，寫成《走路中的“數學”》一文，發表在2023年《數學小靈通》第01期。張同學看到大家鐘情于抽盲盒，思考后結合親身經歷構思完成《盲盒里的“概率”》一文，從小學生的視角運用分數揭示了盲盒背后的玄機，發表在2022年《數學小靈通》第7-8期。另一位王同學是個足球愛好者，他運用“三角形內角和”知識分析了“為什么球離球門越近，越容易射門”的問題，寫出《帶著“數學”踢足球》一文，發表在2022年《數學小靈通》第04期。

（2）用數學知識解決生活問題。為了測量家門口大樹的高度，趙同學在媽媽的幫助下，與弟弟一起利用三角尺（結合相似原理）巧妙測量，最終寫出《小三角尺的大本領》一文，讓人不禁感嘆：小小三角尺竟然有這么“大”的用處，該文發表在2022年《數學大王》第04期。

3.用童話表達數學

兒童是天生的童話大王，用童話的方式表達數學中的概念、原理、思想、方法等，可以讓數學煥發別樣的魅力。例如，學習了“神奇的計算工具”后，學生對計算器及古代計數方式產生了濃厚的興趣。謝同學在《跨越千年的PK》一文中讓石子、骨頭、繩子（對應古代石子、刻痕和結繩計數）與現代計算工具計算器相遇，演繹了一場從彼此不服到相互欣賞的感人故事，揭示了“尺有所短，寸有所長”“江山代有才人出”的哲理。因濃厚的文學味，最終發表在2022年《作文大王》第04期。高同學發表在2023年《數學大王》第03期的數學童話《“小計”找工作》，則通過計算器“小計”夢中找工作，并一路幫助別人解決計算難題的經歷，詮釋了“天生我材必有用”的深刻道理。

總之，“筆尖”數學的實踐為學生學習數學打開了一扇窗，在核心素養時代展現出了蓬勃的生命力，受到了學生的歡迎。寫是做和思的進階，只有做得扎實，思得透徹，才會寫得深刻。因此，寫就是學生與數學對話、與生活對話、與自己對話的過程，而思則貫穿這一過程的始終。它需要學生綜合運用所學，像專家那樣結構化地思考問題，從而讓思維之花在“筆尖”悄然綻放。

作者單位   陜西師范大學附屬小學