隨著計算機技術的高速發展，數學在自然科學中的應用得到了前所未有的拓展，涉及工程技術、金融管理、生物醫學、自然環境等諸多領域。建立數字模型，利用數學方法解決生活應用和科學研究等問題。通過對現實問題的提煉，變具象為抽象，變問題為模型。從實際問題和定量分析角度出發，深入問題，了解對象信息，通過調查研究，假設問題條件，簡化解析過程，分析內在規律，驗證演算結果并找到科學應用的最優解。這些都可以通過對模型進行求解與驗證，得到準確的解答并用它來解釋現實問題。初中數學知識具備很強的實用性，在教學中培養學生的建模能力，可以有效提高他們的數學學習能力、應用能力。

一、數學建模的概念及基本流程

在學習或生活中，針對某類事物系統或是某個知識點的數量依存關系，運用數學專業語言，借助數學符號表述出該系統或知識點所體現的一種純關系數學結構。這就是數學建模，其流程大致需要以下幾個步驟：第一步，模型準備。了解需要解決問題的背景與意義，搜集各種相關信息，把建模對象的個體特征弄清楚，以數學邏輯對問題進行清晰準確的解析。第二步，模型假設。參考建模目的和需要解決的問題特征，對問題元素進行提煉簡化，并根據已知元素進行恰當的假設，這一步在建模中至關重要。問題對象所帶來的若干因素，不可以照單全收、一概考慮。建模者需要充分發揮自己的觀察能力、判斷能力，分辨主次先后，盡可能地將處理方法簡單化，讓其呈現均勻化、線化特征。第三步，建立模型。以假設對象自身的因果關系為假設分析依據，以數學工具來尋找建模對象的內在發展規律，分析各量間等式關系，建立基本邏輯框架。有了假設的基本架構，應用數學工具對問題中常量與變量間的關系進行刻畫，構建相應的數學模型結構。第四步，模型求解。整理已知數據，運用數值運算、證明定量、邏輯運算、畫圖形、解方程等傳統數學方法，以及計算機大數據等新型技術，對模型進行推演計算（包括精算和估算）。第五步，模型分析。運用機理分析法、數據分析法或仿真或其他方法，對所建的數學模型進行評估分析，從因果兩個方向逐步細化，并進行穩定性和誤差分析。第六步，模型檢驗。模型數據分析結果出來后，要和實際情況進行對比驗證，合理性、準確性和適用性是衡量建模成功與否的三大要素。

二、培養學生數學建模能力的意義

（一）促進數學應用意識的形成

作為自然科學基礎，數學知識和思維的有效應用，是核心素養逐步形成的前提。初中數學內容的應用與其他學科的學習及未來的生活工作有著密不可分的聯系。井然有序地在教學中培養學生的建模能力，有機結合科學理論與生活實踐，感受專業知識的應用價值，提升應用數學知識解決實際問題的基本能力，可促進學生數學應用意識的有效形成。在一次次建模過程中，數學基礎知識得到進一步鞏固，知識點之間聯系得以強化，學生分析問題的思維習慣逐步形成，解決問題的綜合能力逐漸提升，這與新的課程改革精神是高度一致的。學生從建模中可以體會到學習數學知識的初心，生活與數學之間的聯系橋梁得以直觀呈現，認識學習數學的價值，潛移默化地促進了學生核心素養的形成。

（二）促進學生綜合能力的提升

新的課程改革精神，對核心素養作了較為具體的要求，在數學方面主要體現在以邏輯思維能力、實際應用能力、創新創作能力、發散能力以及自主思考能力等為代表的綜合能力。傳統數學課堂教學，相對比較重視理論知識的掌握，實踐應用與理論探索結合不是很緊密，學生實踐能力的培養相對不夠重視。學生數學建模能力的培養，剛好可以針對性地彌補傳統教學這方面的不足，學生可以得到一個展示自我的平臺和突破自我的機會。數學建模中，學生數學知識應用能力、專業術語解讀能力和創造能力等技能可以得到充分的應用與鍛煉。良好的學習環境，自由的想象空間，為學生數學建模能力的培養提供了必要條件，同時也有效促進了學生數學思維的形成與數學素養的提升。

（三）培養團結協作的意識和能力

數學建模，它不是一個個體運動，在各個環節之間需要形成一個團隊相互協作。比如，由三名學生組成一個建模競賽小組，在規定的時間內完成既定的參賽項目。在這個需要團隊協作的集體項目里，每個成員都要充分發揮自己的特長與優勢，相互彌補對方的缺點和不足，盡可能地釋放自己的最大能量，爭取達到“1+1+1＞3”的效果。這樣的建模比賽，每個學生都可以得到展示優勢、彌補缺點的機會，各隊員的性格特點、思維習慣、知識架構都直接影響著團體的整體水平，隊員之間需要合理分工、通力合作、集思廣益、求同存異、相互彌補、相互協調形成合力，如此才能讓團隊釋放出最大能量。在建模活動中，隊員的團隊合作意識會在不知不覺中得到提升，團隊協作能力會逐漸提高。

三、培養學生數學建模能力的應用分析

（一）滲透建模思想，培養建模意識

思想引導行動，意識規范過程。建模能力要想得到有效的培養，正確的思想和良好的意識是最基礎的條件之一。在課堂教學中，教師可先向學生滲透數學建模思想，確保學生理論知識有一定的基礎，提供必要的培養條件。滲透建模思想，可促進學生思維習慣中形成建模意識。滲透過程中，教師可將一些生活實際問題有序合理地引入，幫助學生感受數學建模和現實生活的密切關系。教師可以將生活現實問題引入課堂教學，建立數學模型并展示其過程。

例如，某同學將1000元壓歲錢存入銀行（一年定期），定期到期后本息一并取出，捐獻500元給貧困山區兒童，余下全部款項又按定期存入銀行。第二年定期利率是第一年的90%，第二年到期后，結算本金和利息一共530元，問第一年的利率是多少（在不計利息稅情況下）？

解：假設第一年利率為[x]，得出[｛1000×（1+x）-500｝（1+0.9）x=530]

→[90×x2+145x-3=0]

→[x1≈0.0204（2.04%）]

這類題型有一定的抽象性，建模思想可以幫助學生把抽象問題具象化。通過深入了解既定目標信息、深層次進行調查研究、分析內在發展規律，一點點加深學生對建模的認知，以數學專業符號為表述工具，呈現數學模型表達，逐步滲透培養建模思想。建模思想的有效滲透，促進建模意識的順利形成，可提升學生數學學科基礎能力，有利于階段性教學目標的順利完成。

（二）拓展建模思維，提升建模技能

新的課程改革標準中，學生建模能力是初中生核心素養各項指標中不可或缺的重要組成部分之一。在建模思想滲透達到一定成效之后，建模思維的拓展和建模技能的提升，必須要及時跟進，從深度和廣度兩個方向進行完善。建模思維的多維度拓展，便于數學課堂氛圍的營造。輕松良好的氛圍之下，學生會更加主動地去感受數學世界的魅力，探尋未知世界的奇妙。在主動性和積極性都得以充分調動的情況下，全面開拓的建模思維會有效激發學生的創新能力，幫助學生掌握學科知識要點和重點，提高他們對數學知識的學習和應用能力。提升技能，拓展思維，是培養學生建模能力過程中極為重要的一個環節。思維的拓展與創新，知識獲取能力的提升，是學生整個人生中健康成長和順利發展所必須具備的前題條件和必要保障。怎么拓展建模思維？以“一次函數的應用”知識節點為例，教師提問：“移動”推出套餐“快捷通”和“全球通”，前者通話費0.4元/分鐘，月租費50元；后者無月租，通話費0.6元/分鐘。如果你是營業員，你會怎樣根據顧客的需求推薦合適的套餐呢？教師引導學生運用一次函數對問題進行建模，總費用為[y]，月通話總時長為[x]。“全球通”套餐費用為：[y2=0.4x+50]；“快捷通”套餐費用為：[y1=0.6x]。當[y]2<[y]1時，[30+0.2x<0.6x]。通過計算比較得知，每月通話250分鐘時，兩種套餐都可選，通話時長＞250分種時，“全球通”比較劃算，反之則“快捷通”劃算。通過這樣的建模學習解決生活中的實際問題，學生建模思維得到開發，建模能力得到提高。

（三）創設問題情境，激發建模熱情

在教學過程中，創設對口問題情境，可以有效激發學生的建模熱情和興趣。通過對數學問題的科學設計，設置出與教學主題密切相關的問題情境，以調動學生對建模及數學知識的學習積極性。以培養學生建模能力為出發點，教師為學生設計相關問題情境，根據學生數學學習經驗，精心設計問題，激發其學習自信心。

例如，根據某地區山地氣象信息表明，山下年均氣溫為20攝氏度，海拔每升高1000米，氣溫下降6攝氏度。問某一適合在18攝氏度至20攝氏度生長的植物，可以在山上哪一段高度種植？分析：從山腳向上每升高1000米溫度降低五攝氏度，那么每升高一米溫度降低千分之五攝氏度，假設宜種海拔為山腳以上[x]米，根據題意得出：22-6/1000[x][≤]20≥18與22-6/1000[x]，解得：2000/3≥[x][≥]1000/3。

上述問題情境的設置貼近生活，形象生動易于理解，教師可以利用它引導學生建立不等式數學模型，讓學生感受到數學知識的趣味性和實用性。

（四）從易到難遞進，逐步樹立信心

學習是一個遞進的過程，從簡單到困難，步步遞進，更容易克服學生對知識重點、難點的恐懼心理，進而樹立他們學習的自信心。建模能力的培養也同此理，如果一開始給的應用題難度過大，學生的學習自信心會受到打擊。所以，教師要根據學生真實的學習水平出發，從較容易的內容開始，把問題分析到位，講解透徹，層層推進，逐步到位。對一些不易掌握的難題，可設置一些過渡性知識作為橋梁，讓學生可以順利的分層進階，逐步鞏固學習自信心。

比如，學校保潔室放一桶消毒液，純度為100%，容量是100升。保潔阿姨倒出一部分做環境消毒使用，并往桶里加滿清水。第二天，保潔阿姨又倒出同等量的消毒液做環境消毒，并繼續往桶里加滿清水。此時桶中純消毒液（含量100%）為64升，問保潔阿姨每一次倒出的消毒液多少升？1.以桶內裝有濃度為90%的消毒液100升為已知條件，求桶中有多少升濃度為100%的消毒液？2.以桶內裝有濃度為100%的消毒液100升為已知條件，倒出20升后再加滿清水，求現在的消毒液濃度是多少？3.以桶內原裝有濃度為100%消毒液100升為已知條件，求倒出20升后加滿水攪均，再倒出20升混合液后，原桶中濃度為100%的消毒液還有多少？

以上三個問題，有一定難度，在建模應用的時候，我們可以設計以下兩個問題：1.假如每次倒出消毒液為[x]升，那么第一次有多少升消毒液被倒出來，桶里還有消毒液多少升，桶里消毒液濃度為百分之多少？2.第二次從桶中倒出消毒液[x]升，其中包含濃度為100%的消毒液多少升，桶中還余留濃度為100%的消毒液多少升？

在教師有意識的引導下，學生對原題進行閱讀，對已知條件進行思考分析，所面臨的問題就可以順利得到解決。在練習設置上，教師也要進行梯度設計，從簡單的開始，讓學生根據自己當前能力選擇合適的作業來完成。這樣的設置更能讓學生體會到成功的喜悅，從而樹立戰勝學習困難的堅定信心。

（五）強化建模應用，體現建模價值

數學知識誕生于生活，是廣大人民群眾對生活的歸納、分析與總結，同時又服務于生活工作的各個方面。數學知識的學習、建模能力的培養，其最終目的是將來在生活和工作中得以應用。教師在對初中學生進行數學建模能力的培養時，可以把生活工作中的素材有序應用到教學活動中來。當學生具備一定的思想意識和思維習慣后，教師要強化學生對建模的實際應用能力，在不斷的應用當中充分體現建模的價值所在。通過生活中的日常問題，社會關注問題等現實素材，體會數學建模對于現實生活的重要性和實用性，激發學生學習并應用建模的興趣。以財務中常見的“增收節支”主題為例，教師可以把現實生活中的案例引用進來，讓學生直觀地感受到掌握建模技能就可以應用于實踐。

例如，學校高中部去年招新生1800名，今年招生較去年呈現百分之五的增幅。其中女生去年少招了3個百分點，招收男生較去年多了7%，問去年女生招了多少名？男生招了多少名？解析：今年男女生共招1800×（1+5%），去年男女生共招1800名。設去年女生為[x]名，男生為[y]名，今年女生為（1-3%）[x]，男生為（1+7%）[y]，x+[y]=1800，（1+7%）[y]+（1-3%）[x]=1800[y]（1+5%）。得出結果：去年男生招了1280人，女生320人。在教學過程中，教師既要讓學生掌握數學知識，更要教會學生運用現有的知識去解決現實、未知問題。把解題方式方法和數學概念定理進行模型化處理，既能鞏固強化學生對數學基礎知識的積累與掌握，又能把數學專業知識廣泛的應用到現實生活中。這樣從現實問題出發創建數學模型，應用價值得到充分體現。

由此可見，教師要以核心素養的培養作為基本教學實施目標，關注學生的學習需求，了解學生的身心特點，革新教學模式，更新教學理念，為學生專業技能的提升和綜合素養的完善提供必要條件。

作者單位   甘肅省天水市張家川縣閆家中學