[摘  要]文章首先對(duì)國內(nèi)外數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于課堂的現(xiàn)狀進(jìn)行了分析。并基于PBL提出將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)的6種策略。最后給出以可分離變量為例的具體教學(xué)設(shè)計(jì)案例，旨在為高校數(shù)學(xué)課程改革提供參考。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模  PBL  問題驅(qū)動(dòng)  課程矩陣

基金項(xiàng)目：陜西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度重點(diǎn)課題：新時(shí)代陜西省高校課堂教學(xué)改革研究（編號(hào)：SGH20Z021）；西安歐亞學(xué)院2018年重點(diǎn)課程：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（編號(hào)：2018KC032）；西安歐亞學(xué)院2019年高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)建模思想有機(jī)融合研究（編號(hào)：2019ZD007）。

中圖分類號(hào)：G642  文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

引  言

隨著科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮的作用愈發(fā)重要，引領(lǐng)著現(xiàn)代科技的競爭。數(shù)學(xué)的意義更多地體現(xiàn)在利用數(shù)學(xué)思想方法解決人們生活中的實(shí)際問題。把數(shù)學(xué)作為解決問題的工具從而獲得更多的社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益。在這種形勢下，倒逼高校在制定人才培養(yǎng)方案和課堂設(shè)計(jì)時(shí)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和通識(shí)能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)建模是將生活中遇到的問題通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，并將結(jié)果回歸到實(shí)際問題中進(jìn)行驗(yàn)證分析。數(shù)學(xué)建模是高等數(shù)學(xué)體系的實(shí)踐延伸，有助于學(xué)生綜合分析問題和解決問題能力的提升及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

現(xiàn)狀分析

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)融入數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和意識(shí)，以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，組織課程重構(gòu)和搭建新的教學(xué)體系。文章研究的是如何融入數(shù)學(xué)建模思想，并以應(yīng)用性為指導(dǎo)思想，優(yōu)化實(shí)踐教學(xué)模式構(gòu)建高效課堂，從而為學(xué)生提供高質(zhì)量的課程。以學(xué)生為中心，以學(xué)生的獲得感和體驗(yàn)為中心，重構(gòu)教學(xué)體系，構(gòu)建實(shí)踐教學(xué)模式。

加拿大、英國設(shè)立數(shù)學(xué)建模課程的時(shí)間較早，注重將學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)納入到課程目標(biāo)中。美國把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)目標(biāo)。二十世紀(jì)九十年代初，蘇聯(lián)提出把實(shí)際問題和數(shù)學(xué)相結(jié)合，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)。在我國教育中，將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有一個(gè)較長的探索過程。華羅庚等享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)家在二十世紀(jì)五六十年代就開始向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在我國的教育改革中數(shù)學(xué)建模思想也逐步受到重視，從中學(xué)開展的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)探索，到大學(xué)的中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，明確提出提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

考慮到學(xué)校在專業(yè)人才培養(yǎng)方案制定過程中課時(shí)有限的情況，在數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中，教師往往采取弱化定理或理論的證明和減少應(yīng)用實(shí)踐部分。筆者所在學(xué)校的課堂教學(xué)主要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解和基本運(yùn)算的掌握，涉及數(shù)量有限的實(shí)際應(yīng)用案例且難度不大。對(duì)學(xué)生這種發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題并使用數(shù)學(xué)建模思想的意識(shí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)力度是很有限的，而且課下學(xué)生報(bào)名參加競賽的人數(shù)有限且覆蓋面不是很廣。

理論基礎(chǔ)

1.PBL教學(xué)模式

PBL教學(xué)模式即基于問題的教學(xué)方法，主要是教師課前給學(xué)生設(shè)置問題，學(xué)生查找相關(guān)資料并進(jìn)行討論，最后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。這種教學(xué)模式將傳統(tǒng)的教師講學(xué)生聽的灌輸式教學(xué)模式轉(zhuǎn)變?yōu)閱栴}情境式引導(dǎo)學(xué)習(xí)。通過小組合作、探究學(xué)習(xí)，掌握解決問題所需的知識(shí)體系和理論支撐，從而既達(dá)到了知識(shí)層面上的教學(xué)目標(biāo)，又達(dá)到了學(xué)生自己動(dòng)手解決問題和自主學(xué)習(xí)的能力目標(biāo)。這種模式的特點(diǎn)就是教師要作為設(shè)計(jì)者和引導(dǎo)者幫助學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)理解和領(lǐng)悟所學(xué)知識(shí)之間的性質(zhì)、規(guī)律及知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性等。這種教學(xué)模式有以下優(yōu)點(diǎn)。

一是優(yōu)化課堂教學(xué)效果。PBL教學(xué)模式以解決問題為導(dǎo)向，學(xué)生在探索解決方案的過程中其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性被激發(fā)出來。通過小組學(xué)習(xí)、討論，讓學(xué)生參與到問題的解決過程中，通過思考最終得到結(jié)果。而這個(gè)也恰恰是與數(shù)學(xué)建模過程相吻合的。

二是提升教師教學(xué)能力。PBL教學(xué)模式的核心部分就是創(chuàng)設(shè)出恰當(dāng)?shù)那榫硢栴}，情境問題基于相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)且難度在學(xué)生可接受范圍內(nèi)。如在講解微分方程的過程中可以將“降落傘的下降問題”作為課前引例。至于在具體的內(nèi)容中選取什么樣的案例更有助于學(xué)生掌握知識(shí)，這就要求教師對(duì)課程內(nèi)容及案例有著更全面的把握。因此，教師應(yīng)不斷提升自己的案例儲(chǔ)備，幫助和引導(dǎo)學(xué)生解決問題。

三是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。PBL教學(xué)模式在學(xué)生解決問題、提升學(xué)習(xí)效果和轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度等方面幫助很大。教師提出實(shí)際問題，然后指導(dǎo)學(xué)生搜集相關(guān)資料、分析問題、討論分享等。在這個(gè)過程中學(xué)生的各項(xiàng)能力會(huì)得到一定的提升,如將問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力、快速學(xué)習(xí)能力、寫作能力、團(tuán)隊(duì)合作能力、溝通表達(dá)能力等。這個(gè)過程其實(shí)也是數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程。教師是課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)者和引導(dǎo)者，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考問題，通過小組討論凝練觀點(diǎn)并解決問題。在教師創(chuàng)設(shè)的輕松、自由的氛圍中，學(xué)生興趣和主觀能動(dòng)性能更好地被激發(fā)出來。

2.問題解決理論

數(shù)學(xué)建模本身解決的問題包含純粹的數(shù)學(xué)問題、生活中的實(shí)際問題及其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題等。教師在設(shè)置情境問題時(shí)，要注意結(jié)合學(xué)生的知識(shí)水平和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，并考慮到要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。教師引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)進(jìn)行討論、建模、解決、檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)、反思，在學(xué)生頭腦中形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，從而使學(xué)生具備一定的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決問題的數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

改革探索

1.建立典型案例庫，修訂課程考核方案

以數(shù)學(xué)建模競賽真題為資源，結(jié)合高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，分模塊梳理和課本內(nèi)容融合度較高的典型案例庫。數(shù)學(xué)建模競賽的真題對(duì)初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來說是有一定的難度，所以在具體的教學(xué)中應(yīng)以競賽真題為背景，簡化題目要求并建立實(shí)踐報(bào)告專題包。考核的內(nèi)容需圍繞課程目標(biāo)設(shè)計(jì)，考核的方法與課程目標(biāo)的達(dá)成度，考核的評(píng)分有明確的標(biāo)準(zhǔn)。在平時(shí)考核中加入自主學(xué)習(xí)部分，自主學(xué)習(xí)部分來自于實(shí)踐報(bào)告專題包，注明報(bào)告的提交格式標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)生以組為單位完成報(bào)告并進(jìn)行分享展示，教師可以從中選取優(yōu)秀作品舉辦成果作品展。將數(shù)學(xué)建模思想和方法真正地通過重構(gòu)融合到教學(xué)設(shè)計(jì)中去。在作實(shí)踐報(bào)告的過程中學(xué)生有實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié)，將高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生能夠運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決復(fù)雜的實(shí)際問題。如利用數(shù)學(xué)軟件求解極限、微分方程、優(yōu)化問題等。

2.利用思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識(shí)圖譜

思維導(dǎo)圖是一種實(shí)用性較強(qiáng)的有效圖形思維工具。在每個(gè)模塊結(jié)束時(shí)，學(xué)生按照自己的理解將所學(xué)內(nèi)容繪制成思維導(dǎo)圖框架，從而使所學(xué)知識(shí)有一個(gè)更清晰的邏輯關(guān)系。

3.優(yōu)化教學(xué)平臺(tái)功能

在教學(xué)過程中完善并充分使用教學(xué)平臺(tái)，使其為教學(xué)服務(wù)。使用多媒體和教學(xué)平臺(tái)輔助教學(xué)和豐富教學(xué)手段。在教學(xué)平臺(tái)系統(tǒng)上教師及時(shí)發(fā)布相關(guān)資料（教學(xué)大綱、教學(xué)計(jì)劃、課件、課外閱讀書單、微課、在線測試、課堂考勤、隨機(jī)點(diǎn)名等），學(xué)生在系統(tǒng)上提交作業(yè)（討論區(qū)發(fā)帖、作業(yè)提交、思維導(dǎo)圖、項(xiàng)目報(bào)告、小組活動(dòng)等），教師也可利用系統(tǒng)功能對(duì)學(xué)生的各項(xiàng)作業(yè)進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。同時(shí)在教學(xué)平臺(tái)上發(fā)布數(shù)學(xué)建模競賽的相關(guān)資料（宣傳報(bào)名、培訓(xùn)資料、歷年真題等），使學(xué)生更方便快捷地獲取數(shù)學(xué)建模的相關(guān)信息。

4.開設(shè)建模選修課

西安歐亞學(xué)院在正常必修課的教學(xué)之外，還開設(shè)了數(shù)學(xué)建模及其他相關(guān)選修課。感興趣的學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)的價(jià)值、大自然中的數(shù)學(xué)知識(shí)等。如數(shù)學(xué)史、走進(jìn)數(shù)學(xué)、古今數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用、有趣的數(shù)學(xué)建模等。

5.成立建模工作室

借助數(shù)學(xué)建模工作室，吸納歷年參加數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)生和對(duì)建模有興趣的學(xué)生，有計(jì)劃地開展數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)校本科生及專科生從事創(chuàng)新研究工作，使一部分有能力的學(xué)生接觸到一些力所能及的客觀實(shí)際問題。這是數(shù)學(xué)建模競賽和教學(xué)的一個(gè)延伸，是數(shù)學(xué)教學(xué)模式的一個(gè)創(chuàng)新，極大地拓展了數(shù)學(xué)建模競賽的受益面，為學(xué)生提供了一個(gè)從數(shù)學(xué)知識(shí)到現(xiàn)實(shí)問題的真實(shí)環(huán)境，是數(shù)學(xué)課程素質(zhì)教育的一個(gè)新嘗試。西安歐亞學(xué)院數(shù)學(xué)建模工作室成立以來，學(xué)生參與熱情非常高，在數(shù)學(xué)建模競賽組織和宣傳推廣活動(dòng)中發(fā)揮了較大作用，同時(shí)為學(xué)校應(yīng)用類數(shù)學(xué)課程的研發(fā)和高等數(shù)學(xué)等課程的實(shí)踐提供了重要支持。

6.組織培訓(xùn)、舉辦講座、指導(dǎo)競賽

為了學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)建模有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，西安歐亞學(xué)院每年都會(huì)舉辦數(shù)學(xué)建模專題講座。如邀請(qǐng)知名專家教授進(jìn)行“數(shù)學(xué)建模競賽與應(yīng)用”講座，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模有了更清晰的認(rèn)識(shí)，對(duì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題產(chǎn)生強(qiáng)烈興趣。對(duì)有意向參加競賽的學(xué)生進(jìn)行予數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)。選拔優(yōu)秀學(xué)生參加中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽和美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，這也是數(shù)學(xué)課程改革中實(shí)踐教學(xué)的一個(gè)延伸。

具體教學(xué)設(shè)計(jì)案例

文章采用趙炬明教授的以學(xué)生為中心的教學(xué)改革七步法：學(xué)生調(diào)查分析、課程認(rèn)知框架、要解決的問題、課程設(shè)計(jì)、設(shè)計(jì)理由、考查內(nèi)容、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。反向課程設(shè)計(jì)矩陣將數(shù)學(xué)建模思想和案例融入到關(guān)聯(lián)度較高的章節(jié)，對(duì)每章節(jié)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行課程設(shè)計(jì)，形成課程設(shè)計(jì)矩陣。以下就可分離變量的微分方程為例展示課程矩陣（表1）。

結(jié)  語

將大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)和數(shù)學(xué)建模思想融合在一起，有效地推動(dòng)了數(shù)學(xué)課程的改革，進(jìn)而提升了數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容的同時(shí)，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際生活中的問題，既能鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生的通識(shí)能力。

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（任翠萍：西安歐亞學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院）