本文系陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度課題《知識整合視角下小學數學“數與代數”領域深度教學的實踐研究》階段性研究成果，課題批準號SGH21Y0665。

在小學數學學習的過程中，數學知識體系為學生提供了邏輯嚴密的思維發展空間。很多愛學數學的學生能體會到數學的樂趣，但也有很多學生抵觸數學。究其原因，沒有良好的數感是數學學習的一大障礙。對于小學生而言，數感的發展很大程度上依賴于教師深度的問題設計。本文以“數與運算”教學為例，對知識整合理論發展小學生數感的問題設計進行深度探究。

一、問題的提出

數感是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）提出的核心概念之一，是學生學習數學應具備的一項重要學科素養。

《課標》指出，數學課程要培養學生的核心素養，主要包括會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。具有良好的數感是學生用數學眼光觀察現實世界的重要基礎，而發展學生數感的策略，已成為小學數學教學亟需解決的實際問題。數感主要是指對數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，并能在真實情境中理解數的意義；能用數表示物體的個數或事物的順序；能在真實情境中合理進行估算，并作出合理判斷；能初步體會、表達事物蘊含的數量規律。

數感一詞主要用于學前至小學二年級階段“數與運算”的學習中，且隨著學生建構數的意義和運算技能水平、認識和運用數之間的關聯解決問題的水平以及建立新舊知識之間關聯水平的逐級發展而發展。數感源于觀察與思考，并不局限于感知范圍。由此可見，作為數學學習的必備素養，數感是學生形成抽象能力的基礎，建立良好的數感有助于學生理解數的意義和數量關系，能為進一步數的運算奠定良好基礎，也能使學生初步感受數學表達的簡潔與精確，激發了學生的好奇心，培養了學生持續學習的興趣。

在小學階段，數感是學生對數的直接感知，它是數字意識最直接的表現，是數學思維最基本的方式，培養學生的數感是教學的重要目標之一。從建構主義的觀點來看，在“數與運算”這一內容領域，學生作為學習的主體，理解數表示的意義，知道數的組成、排列關系、大小等應成為培養學生數感所面臨的首要問題。知識整合教學理論表明，尊重學習者的已有想法并將新舊想法進行對比，學習者能獲得更大成功。知識整合教學正是通過誘出想法、添加想法、辨分想法、反思和整理想法等環節將學習者碎片化的知識轉化為連貫性想法的過程。學生數感的有效提升，主要從數學活動經驗中獲得，課堂教學中教師的問題設計則起著主導作用。

二、發展學生數感的問題設計教學策略

小學生的數學學習主要依托于課堂教學實現，好的問題設計能有效啟發學生思考，為學生打開自我認知的大門。一節課時間有限，不加設計的瑣碎問題，首先割裂了學生的連續性思考，不利于學生系統思考能力的培養。其次，增加了學生淺度思考和無價值互動交流的可能。聚焦發展學生數感，如何精心設計問題則成為有效達成目標的必要條件，結合教學經驗，筆者提出以下教學策略。

1.問題設計指向原有知識的誘出，準確把脈認知起點。

按照知識整合理論從學習科學的角度來看，人們總是將新信息與已有知識相聯系來理解其含義，教師只有預先知道學生的認知起點，才能科學定位新知識的切入點。在“數與運算”的內容教學中，問題設計首先要指向學生原有的認知起點，通過已有知識的類推來理解新知識。無論是整數、分數、小數還是負數的產生與發展，這些都是人類生活實踐的總結。教師要根據數的產生與發展特點，創設真實情境或操作活動，設計對應問題喚醒學生原有經驗，使其充分交流、表達自己的想法，以建立正確的數的概念。

北師大版小學數學二年級下冊第三單元“生活中的大數”第三課“比一比（萬以內數的大小比較）”是在學生學習了100以內數的大小比較的基礎上，討論萬以內數的比較方法。教學中，教師可以啟發學生思考：“你用什么方法來比較這些數的大小？請你給大家講一講。”學生對于比較數的大小有著濃厚的興趣，不斷努力尋找更大的數，以拓展知識的邊界。低年級的孩子甚至說出“億”“兆”這樣的計數單位，這些都為學生自主比較數的大小創造了有利的條件。

如在北師大版小學數學四年級上冊“認識更大的數”這一單元中，計數單位是數的概念發展的主要線索，十進位值制計數法是認識大數的核心概念，數位順序表是大數讀寫的重要抓手，認識到這些我們才能有效發展學生的數感，將學生的核心素養融入到課時教學中。教師可以這樣進行問題設計：請你說出生活中的一些大數，告訴同伴這些數大約有多大呢（這些數是學生課前收集到的比十萬還大的數）？你能讀出全國的總人口數嗎？你能寫出某省的人數嗎。說一說你是怎樣讀數和寫這些大數的。多位數的讀寫方法是相通的，學生可以借助數級，也可以借助數位，我們的目的是鼓勵學生主動遷移運用已有知識，并尊重學生個性化的想法。

實踐認識論強調，認識來自于實踐。認識有一個基于實踐感性到抽象理性的發展提升過程，認識的發展從感性到理性，實踐并未離去，而是由“顯性”走向了“隱性”。數學是一門比較抽象的學科，小學生數學知識的學習離不開原有的知識結構以及生活經驗。教師要改變傳統講授與灌輸式的教學方法，在新知識的學習前，圍繞學生原有知識的誘出來設計問題，使學生了解數的產生、發展等過程，建立起他們有意義的學習框架。

2.問題設計指向新知識的添加，定位最近發展區。

維果斯基的“最近發展區理論”認為，學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。教師扮演著學生發展促進者和幫助者的角色，學生已有數的概念和即將認識的數如何溝通、建立聯系，這是問題指向的價值區域。問題設計應關注學生的最近發展區，教師要激發學生的學習積極性，為其提供“跳一跳才能摘到桃子”的機會，而不是直接發給他們“桃子”。

北師大版小學數學四年級上冊第七單元“生活中的負數”，屬于“數與代數”知識體系中“數與運算”的內容范疇。負數在生活中有時會運用到，但負數的實際意義卻相對比較抽象，要準確理解負數的意義，教師可以從學生生活中常見的溫度計出發，設計問題：“零上3攝氏度表示什么含義？零下3攝氏度又表示什么含義？”溫度計模型對學生而言比較直觀，具有“數軸”之形，借助溫度計模型下的問題設計，有利于學生對負數意義的探究和理解。

在北師大版小學數學五年級上冊第三單元“倍數與因數”的教學中，3的倍數的特征是在學生已經具有探索2、5倍數的特征經驗基礎上進行學習的。3的倍數尾數不具有某種規律，不像2、5倍數的特征那樣直觀，學生原有的學習經驗無法借鑒，因此會陷入思考盲區。教師要設計基于新知添加的問題：“算一算3的倍數各個數位上的數字之和是多少？你能發現什么規律？”啟發學生換個角度進行思考，幫助學生突破探索活動的障礙，逐步幫助學生發現3的倍數的特征規律。

教師要提供有利的先決條件，立足學生實際情況設計出具有挑戰性的數學問題，促進學生有效、深度的思考。學生數感的發展是先前知識經驗遷移的結果，原有的知識經驗教師要清楚，同時也要明確學生對新知的理解程度。必要時教師要做好前測，只有對學生的認知起點和終點準確定位，才能科學架構學習目標，使問題設計更加精準。

3.問題設計指向新舊觀念的辨分，整合碎片化認知。

學生學習“數與運算”相關內容時，原有的知識不應成為發展數感的絆腳石，而應成為深度理解的階梯。數感的培養建立在新舊學習觀念辨分的基礎上，整合原有的“數與運算”各個方面的知識，將其建立聯系，有助于學生理解相關領域數的意義以及數量之間的關系。碎片化的知識容易讓學生產生錯覺，無法將數的產生發展放在數的體系中整體思考理解，此時的問題設計要在知識的生長點上，啟發學生在新舊知識之間進行深度思考，找到知識點之間的關聯，進而形成連貫性的認識。

北師大版小學數學三年級下冊第五單元認識分數“分一分(一)”，在“分物—產生分數—直觀感受—創造分數—認識分數”這一系列學習活動中，教師要尊重學生的認知起點，還原分數形成的過程，引導學生深入認識分數。學生在不同形狀的圖形上分別涂出了一個圖形，展示學生的作品后，教學中設計這樣的問題：“大家每個人涂出的形狀都不一樣，為什么都可以用分數表示呢？”啟發學生進一步理解涂色部分和整個圖形之間關系的一個數，和圖形的形狀、大小無關。這樣，學生對分數表示的意義理解會更加深刻。

“百分數的認識”是北師大版小學六年級數學上冊第四單元第一課時的內容，本課是學生在學習了整數的認識、小數的認識、分數的認識以及熟練掌握通分的方法與技能后進行學習的，它是進一步學習百分數與分數、小數互化的基礎，對于發展學生的數感以及在生活中應用百分數有著十分重要的作用。在學生學習了很多生活中的百分數后，教師可以這樣進行問題設計：大家寫出了這么多百分數，不同百分數之間有沒有相同之處呢？汲取生活中的百分數知識，通過尋找不同百分數之間的區別和聯系，引導學生去體會、表述和感悟不同百分數之間的相同處。在充分感知百分數材料的基礎上，提煉概括出百分數的意義，這樣對學生百分數數感的發展有很大的促進作用。

關于數的學習，學生頭腦中原有的數和新學習的數沒有形成非常清晰的對比和歸納，如此就會形成淺表性的學習狀態。數的概念相互缺乏聯系，不利于學生后續認知結構的完善，嚴重影響著學生數感的發展。通過指向新舊知識辨分的問題設計，找到知識之間的聯系，打通概念之間的壁壘，就會消除學習中的困惑，促進學生建立關于數的體系化結構。

4.問題設計指向認知過程的整理，完善認知結構。

隨著認識數的領域不斷擴大，學生在學習中不斷思考整數、小數、分數之間的聯系和區別。綜合來看，學生課前已有的想法、課程中提供的規范的數的概念、課程學習中自動生成的想法，將會成為學生思考的重要元素。教學中，教師要引導學生將這三類想法進行整合，即整理想法。學生通過對比、思考和重新評估先前已有想法，打通不同階段和角度想法之間的聯系，理解自相矛盾的想法，清晰地認識數的實際意義。

例如，在北師大版四年級下冊“小數的意義和加減法”這一單元的教學中，學生利用元角分現實模型，通過分數理解小數的意義。學生已經知道1元平均分成10份，每份是1元的十分之一，也就是0.1元；1分是1元的百分之一，也就是0.01元。在學生較為直觀地認識到分數和小數之間的聯系后，教師可以設計這樣的問題：把“1”平均分成1000份，其中的1份是，也可以表示為（     ），其中的59份是，也可以表示為（      ）。在學生思考的同時，借助直觀圖的展示，便于學生更好地理解小數的意義。

又如，在北師大版六年級上冊“百分數”這一單元教學中，學生充分掌握了百分數的意義后，教師設計問題：“你在生活中還見過哪些百分數，表示什么意思？百分數與之前學過的哪些知識有聯系？”以此從橫向和縱向兩個角度，啟發學生思考整理有關百分數的知識，將百分數、分數、小數的認識進行溝通，尋求三者之間的聯系和區別，同樣也有助于學生深入地理解百分數的意義。

反思整理活動是數學學習的沉淀與思考，可促進學生重新審視學習過程和結果，助其查漏補缺，剔除矛盾的觀念。對于數與運算的概念方法，指向認知過程整理的問題設計，有利于形成清晰的思維脈絡，不但促進學生數感的發展，還有效幫助學生發展認知能力，為后續的學習提供了可供借鑒的學習經驗。

三、結論與思考方向

小學數學“數與運算”內容的教學中，從某種程度上來講，就是站在數學金字塔的高處在倒轉人類探索發現“數與運算”的過程。“數與運算”是開啟學生數學世界的大門，無論是整數、分數、小數，還是正負數的認識和運算，沒有恰當的問題設計指向，學生對數的意義認識就不會全面和深刻，對各類運算的方法就無法清晰理解。發展學生的數感，實際上也是培養學生的數學學科素養。基于認知科學的理念，整合學生原有的想法，引導學生將新舊知識建立聯系，促進學生一致性理解應成為課堂教學中重要的問題設計理念。依據這樣的問題設計理念，從知識的誘出、添加、辨分、整理四個環節設計準確而有效的數學問題，才能在教學中引導學生找到“數與運算”的本質特征，為后續的數學學習奠定堅實基礎。因此，教師在教學中要精心設計問題，重視數學知識抽象的現實情況，引導學生逐步感悟抽象思想，如此才能讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界。

作者單位   陜西省西安市蓮湖區遠東實驗小學