本文系陜西省教育科學“十四五”規劃2021年度課題《新高中課程方案框架下學生數學核心素養培育研究》階段研究成果，課題編號：SGH21Y1151。

一、案例背景

《普通高中數學課程標準》指出：“數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律”。從特殊到一般，再從一般到特殊的認知過程是我們認知世界的基本途徑之一。數學也如此，從特殊到一般，再從一般到特殊的探究數學問題的過程就是數學探究中的特殊與一般思想。特殊與一般的思想是中學數學中重要的思想之一，有的特殊問題，需要我們用一般性的規律去處理；有的一般性問題應通過研究其特殊性來揭示一般規律。事實上特殊與一般的辯證思想一直貫穿于解題之中，特殊化讓認識問題更加全面，一般化讓認識問題更加深刻。下面，筆者結合北師大2019版《數學必修》第二冊第一章“三角函數”第四節“誘導公式與對稱”來談談如何滲透特殊與一般思想，發展學生核心素養。

（一）教材分析

三角函數是中學數學重要的內容之一，誘導公式與對稱充分體現了對稱變換思想在數學中的應用，在練習中加以應用，讓學生進一步體會角的任意性, 滲透從特殊到一般，一般到特殊的數學思想的探究過程，鍛煉學生用聯系和變化的辯證唯物主義觀點去分析問題的能力。誘導公式在三角函數化簡、求值中具有非常重要的工具作用，要求學生能熟練地掌握和應用。

（二）學情分析

本小節介紹的二至五組誘導公式在內容上既是公式一的延續，又是后繼學習誘導公式與旋轉的基礎，它們與公式一和公式六、公式七組成的七組誘導公式，用于解決求任意角的三角函數值的問題以及有關三角函數的化簡和證明等問題。

（三）課標要求

內容要求：借助單位圓的對稱性，利用定義推導出誘導公式。

教學要求：應發揮單位圓的作用，引導學生結合實際情境，借助單位圓的直觀，探索誘導公式。

（四）學習目標

1.借助單位圓及其對稱性，通過觀察推理得出正弦、余弦第二、三、四、五組的誘導公式，發展學生直觀想象和數學抽象等核心素養。

2.能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，并解決有關三角函數求值、化簡和恒等式證明問題，發展學生邏輯推理和數學運算等核心素養。

3.通過公式的應用，了解未知到已知、復雜到簡單的轉化過程，領悟化歸、特殊到一般、一般到特殊的數學思維方法，發展學生數學運算和邏輯推理素養。

4.獲得探索新知與交流合作的樂趣,體驗數學內在的結構之美，同時培養學生科學嚴謹的思維習慣以及合作探究的精神，發展學生學會學習和科學精神素養。

（五） 教學重難點

重點：借助單位圓，推導出正弦、余弦第二、三、四、五組的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數。

難點：解決有關三角函數求值、化簡和恒等式證明問題。

（六）教法和學法

1.探究發現法。

2.講授法。

二、 案例過程

（一）創設問題情境，引入新課

問題1：如何將任意角的正弦、余弦三角函數值轉化為[0，2π]的角的正弦、余弦？

學生：利用所學終邊相同角的公式一即可轉化。

sin(α+2kπ)=sin α , cos(α+2kπ)=cos α, 其中，k∈Z。

問題2：如何將[0，2π]間的角的正弦、余弦轉化到[0，[π2]]之間角正弦、余弦？

學生：任意角的正弦、余弦三角函數值可以利用公式一轉化為[0，2π]間的正弦、余弦，那么[0，2π]間的角也可用一些公式轉化到[0，[π2]]間角正弦、余弦。

設計意圖：通過復習公式一，建立知識間的聯系，讓學生了解角終邊之間的關系，為推導誘導公式作鋪墊，提高學生解決問題、分析問題的能力。

（二）滲透特殊與一般思想，發展學生的核心素養

問題3：思考角-α與α終邊位置有何關系?

學生：如圖1，終邊關于[x] 軸對稱。

問題4：任意角α的終邊與單位圓相交于點P([u]，ν) ,請學生思考點P關于 [x]軸對稱的點P＇的坐標是什么?

學生：任意角α的終邊與單位圓相交于點P([u]，ν)，點P關于[x]軸對稱的點坐標是P＇ ([u]，-ν) 。

圖1

教師：點P和P＇的橫坐標相等，縱坐標的絕對值相等且符號相反。即：

sin (-α)=-sin α，所以正弦函數ν=sin α 是奇函數；

cos (-α)=cos α，所以余弦函數[u=]cos α是偶函數。

記為公式二。

設計意圖：通過圖形觀察角-α與α的終邊位置關系，點P關于[x]軸對稱的點P＇的坐標關系，進而得到誘導公式二，提高學生分析問題、概括能力和一般化能力，發展學生直觀想象和數學抽象等核心素養。

問題5：思考角α+π與α終邊位置有何關系?

學生：如圖2，終邊關于原點對稱。

問題6：思考角α-π與α終邊位置有何關系?

學生：如圖2，終邊關于原點對稱。

問題7：任意角α的終邊與單位圓相交于P([u]，ν)，請學生思考點P關于原點對稱的點P＇的坐標是什么?

圖2

學生：任意角α的終邊與單位圓相交于點P([u]，ν)，點P關于原點對稱的點坐標是P＇(-[u]，-ν) ，點P和P＇的橫坐標的絕對值相等且符號相反，縱坐標的絕對值也相等且符號相反。即：

sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α；

sin(α-π)=-sin α，cos(α-π)=-cos α。

記為公式三、四。

設計意圖：通過圖形觀察角α+π與α、角α-π與α終邊位置關系，點P關于原點對稱的點P＇的坐標關系，進而得到誘導公式三、四，提高學生分析問題、概括能力和一般化能力，發展學生直觀想象和數學抽象等核心素養。

問題8：思考角π-α與α終邊位置有何關系?

學生：如圖3，終邊關于 [y]軸對稱。

問題9：任意角α的終邊與單位圓相交于點P([u]，ν)，請學生思考回答點P關于[y]軸對稱的點P＇的坐標是什么?

圖3

學生：任意角α的的終邊與單位圓相交于點P([u]，ν)，點P關于[y]軸對稱的點坐標是P＇ (-[u]，ν) 。點P和P＇的橫坐標的絕對值相等且符號相反，縱坐標相等。即：

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

記為公式五。

教師：公式五也可以由公式三、四推出。

sin (π-α)=-sin (α-π)=-(-sin α ) =sin α；

cos (π-α)=cos (α-π)= -cos α。

設計意圖：通過圖形觀察角π-α與α終邊位置關系，點P關于[y]軸對稱的點P＇的坐標關系，進而得出誘導公式五，提高學生分析問題、概括能力和一般化能力，發展學生直觀想象、數學抽象和邏輯推理等核心素養。

教師：誘導公式一、二、三、四、五。

sin (α+2kπ)=sin α，cos (α+2kπ)=cos α，其中，k∈Z；

sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α；

sin (α+π)=-sin α，cos (α+π)= -cos α；

sin (α-π)=-sin α，cos (α-π)= -cos α；

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

體會軸對稱、中心對稱在推導公式過程中的本質特征。

（三）提升運算技能，嘗試求解

例1：畫出下列各組中的兩個角的終邊與單位圓的交點,說出它們的對稱關系（例題和練習過程略）。

（1）[5π/4]和[π/4] ； （2）[2π/3]和[π/3]。

練習1：畫出下列各組中的兩個角的終邊與單位圓的交點，說出它們的對稱關系。

（1）[11π/6]和[π/6]； （2）[-11π/6]和[π/6]。

例2：求下列三角函數值：

（1）[sin][(-5π/4)]； （2）cos[2π/3]；

（3）[sin][11π/6]； （4）cos[(-31π/6)]。

練習2：求下列三角函數值：

（1）[sin][(-11π/3)] ； （2）cos[135°]；

（3）[sin][(-16π/3)]； （4）cos（[-1110°]）；

（5）cos[11π/4] ； （6）[sin][870°]；

（7）[sin][（-210°）；]（8）cos[（-83π6）]。

練習3：計算：

cos[(-7π/6)][sin][（5π/3]）[sin][(-9π/4)]

cos[10π/3]。

練習4：角α的終邊與單位圓交于點P[（-12/13]，[5/13]）。分別寫出點P關于 [x]軸、 [y]軸和原點對稱的點的坐標，并求角π-α, -α，α+π，2π-α 的正弦函數值、余弦函數值。

（四）課后作業

1.習題1~4A組第4題。

2.習題1~4B組第3題。

設計意圖：通過精講多練，讓學生進一步理解用誘導公式化簡三角函數關系式、求任意角的三角函數值，提高學生解決與分析問題的能力。通過練習鞏固本節所學知識，讓學生感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識，發展學生邏輯推理和數學運算等核心素養。

（五）小結反思，感悟提升

1.從知識內容方面：角的終邊對稱、誘導公式一、二、三、四、五和誘導公式的應用等。

2.從思想方法方面：數形結合、特殊與一般思想方法等。

三、案例反思

（一）教學設計反思

在進行教學設計之前，反復閱讀課程標準和教材，針對教材內容精心設計，努力讓學生親歷知識發生、發展的過程， 感受“觀察——概括——應用”等環節，積極投入到思維活動中來。通過與學生的互動交流，關注學生的思維發展，在課堂中逐漸展開教學內容，引導學生用已學的知識、方法解決問題，并獲得知識體系的更新與拓展，進而收獲成功。在知識的形成、發展過程中延拓思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力，充分發揮學生的主體作用，增強學生主體的合作意識，達到我們設計所預想的目標。

（二）教學過程反思

本節內容難度不高,教師的干預較多。在以后的教學中，對于一些較簡單的內容，我們應放手讓學生多一些探究與合作。隨著教育改革的深化，教學理念、教學模式、教學內容等因素都在不斷更新，作為數學教師我們要更新教學觀念，著眼于學生的全面發展設計教學，關注學生個性和潛能的發展，使教學過程更加切合課程標準的要求，并且還要用全新的理論武裝自己，讓自己的課堂教學更有效。

作者單位 陜西省榆林市第三中學