自主建構(gòu)、主動(dòng)探究是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式。自主建構(gòu)是自我導(dǎo)向、自我激勵(lì)、自我嘗試、自我監(jiān)控的學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要給予學(xué)生充分的探究空間，賦予學(xué)生自主的探究權(quán)力，而實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)所謂的“自主建構(gòu)”總是教師過度預(yù)設(shè)下的建構(gòu)，這樣的設(shè)計(jì)往往窄化了學(xué)生的思維，導(dǎo)致學(xué)生“知其然，而不知其所以然”。真正的自主建構(gòu)應(yīng)當(dāng)是教師引導(dǎo)學(xué)生重復(fù)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵步子，自然地生發(fā)問題、分析問題并解決問題的過程。在這個(gè)過程中，教師要適度介入，助推學(xué)生感悟其中的數(shù)學(xué)思維。下面，筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級(jí)上冊(cè)“釘子板上的多邊形”教學(xué)為例，研討我們?cè)撊绾我龑?dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、主動(dòng)探究，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

一、課前慎思

1.現(xiàn)象描述：“釘子板上的多邊形”這一部分是綜合與實(shí)踐活動(dòng)領(lǐng)域的內(nèi)容，屬于探索規(guī)律類的課型，這一課型是培育學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的優(yōu)質(zhì)載體。在這一部分的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地讓學(xué)生進(jìn)行自主建構(gòu)、主動(dòng)探究、積極創(chuàng)造。但現(xiàn)如今許多的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，幾乎都是千篇一律的。很多教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究時(shí)，總是提前介入，左右學(xué)生的思維，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)了這部分內(nèi)容之后，對(duì)“釘子板上的多邊形”（皮克定理）仍然十分陌生。具體表現(xiàn)為學(xué)生或記不清該用哪個(gè)公式解決具體問題，或?qū)礁拍睢⑻骄康倪^程認(rèn)識(shí)不到位等。那么，究竟是什么原因?qū)е聦W(xué)生對(duì)所建構(gòu)的知識(shí)認(rèn)識(shí)不充分、理解不深刻呢？為此，我們?cè)谡n前教學(xué)時(shí)必須做到慎思，要經(jīng)過縝密的思考和精心的教學(xué)設(shè)計(jì)才能進(jìn)行下一步的教學(xué)。

2.問題溯源：“多邊形的面積”這一部分內(nèi)容的探究是采用實(shí)驗(yàn)探究的方式展開的，而且還是采用對(duì)比實(shí)驗(yàn)的方式展開的。相比較于其他的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容涉及兩個(gè)變量：其一是多邊形邊上的釘子數(shù)；其二是多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)。通常情況下，教師運(yùn)用的主要方法是“控制變量法”，首先是控制多邊形邊上的釘子數(shù)，然后控制多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)。比如，一般會(huì)從多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為1開始探究，通過變化多邊形邊上的釘子數(shù)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2”；在研究了多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為1的情況之后，教師再控制多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，即讓多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)從1個(gè)到2個(gè)再到3個(gè)等，從而歸納出“多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2-多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)+1”。這個(gè)歸納過程從數(shù)學(xué)的角度看是沒有任何問題的，比較連貫且邏輯性強(qiáng)。但從學(xué)生的立場(chǎng)看，問題就比較多。比如，為什么要先研究多邊形邊上的釘子數(shù)？為什么要從多邊形內(nèi)部釘子數(shù)為1開始研究，從0開始研究不行嗎？在公式S=n÷2+（a-1）中，n÷2表示什么？（a-1）又表示什么？基于對(duì)這些問題的思考，筆者對(duì)這部分的內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)重構(gòu)。經(jīng)過“解構(gòu)——重構(gòu)”，通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)解開了學(xué)生學(xué)習(xí)中的種種疑問、種種謎團(tuán)，進(jìn)而揭秘了皮克定理的真實(shí)內(nèi)蘊(yùn)。

二、教學(xué)實(shí)踐

對(duì)于“多邊形的面積”這部分內(nèi)容的重構(gòu)，教師需要除去各種遮蔽，比如教材的遮蔽、傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)的遮蔽、一般教學(xué)法的遮蔽等。我們要從問題的本源出發(fā)，將學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)通過自主建構(gòu)、主動(dòng)探究、積極創(chuàng)造帶領(lǐng)他們走進(jìn)學(xué)習(xí)的澄明之境。在這個(gè)過程中，教師要“面向知識(shí)本身”，引發(fā)學(xué)生深度思考和探究，從而掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

1.引導(dǎo)學(xué)生提出問題

早期有建構(gòu)主義學(xué)者認(rèn)為，兒童是通過自主建構(gòu)來學(xué)習(xí)新知識(shí)的，即兒童的學(xué)習(xí)是以原來的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，通過自己的智力以及活動(dòng)發(fā)現(xiàn)、探究和解決問題，建構(gòu)對(duì)新知識(shí)的理解，并對(duì)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)做出調(diào)整，促進(jìn)自身學(xué)習(xí)與發(fā)展的過程。實(shí)踐證明，自主建構(gòu)可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的靈活性，并能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的長(zhǎng)時(shí)間記憶。

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的要素之一，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的基石，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)中要努力引導(dǎo)學(xué)生提出問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中提升自己的各項(xiàng)能力。在教學(xué)“多邊形的面積”這部分內(nèi)容時(shí)，筆者先用多媒體給學(xué)生呈現(xiàn)出由眾多釘子組成的釘子板，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去猜想：多邊形的面積與什么有關(guān)？在猜想中，有學(xué)生認(rèn)為“多邊形的面積與邊的長(zhǎng)度有關(guān)”。也有學(xué)生認(rèn)為“多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)有關(guān)”。還有學(xué)生認(rèn)為“多邊形的面積與多邊形內(nèi)部釘子數(shù)有關(guān)”。此時(shí)，教師要充分尊重學(xué)生的這些猜想，然后讓學(xué)生逐步去探究這些猜想，這樣做他們既研究了多邊形的面積與多邊形邊上、內(nèi)部釘子數(shù)的關(guān)系，同時(shí)也為其在自主建構(gòu)對(duì)多邊形實(shí)施數(shù)方格計(jì)算之后，否定了其中的偽因素。

2.引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)依賴于學(xué)生的自主建構(gòu)。作為教師，我們要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)域內(nèi)”進(jìn)行設(shè)計(jì)，這樣可以有效激發(fā)學(xué)生的自探自悟。

同樣是教學(xué)“多邊形的面積”，在確定了研究目標(biāo)之后，有學(xué)生對(duì)研究?jī)?nèi)容提出了這樣的設(shè)想：先從簡(jiǎn)單的內(nèi)容開始，即“以小見大找規(guī)律”。實(shí)際上，這樣的研究思路正是學(xué)生對(duì)已有的研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行概括、提煉、總結(jié)的結(jié)果。還有學(xué)生提出，最簡(jiǎn)單的就是兩個(gè)釘子連成一條線段，而這不能構(gòu)成封閉的多邊形，它沒有面積（屬于無效面積），也就不需要展開研究了。因此，起碼要有三個(gè)釘子才能構(gòu)成一個(gè)封閉的三角形。有學(xué)生認(rèn)為，應(yīng)該從邊上的釘子數(shù)為3的三角形開始研究。這個(gè)時(shí)候，多邊形的內(nèi)部釘子數(shù)為0。但由于一個(gè)內(nèi)部為0的多邊形不能展開研究，于是學(xué)生自然就想到了用眾多的釘子來進(jìn)行比較研究。據(jù)此，學(xué)生自主畫圖、自主用橡皮筋圍成多邊形，這些多邊形有一個(gè)共同的特性，即多邊形的內(nèi)部釘子數(shù)為0。通過比較，學(xué)生自主列舉了下列表格（注：釘子板的方格面積為1）：

學(xué)生通過對(duì)多邊形邊上釘子數(shù)與多邊形面積的函變關(guān)系的探究之后發(fā)現(xiàn)，多邊形的面積=（多邊形邊上的釘子數(shù)-2）÷2。那么，如何對(duì)這樣的公式進(jìn)行合理而科學(xué)的解釋呢？有學(xué)生認(rèn)為，多邊形邊上的釘子數(shù)減去2，這正是研究初期所提出的無效面積的釘子數(shù)。在這一發(fā)現(xiàn)中，學(xué)生自主建構(gòu)了內(nèi)部釘子數(shù)為0的多邊形的面積的基本規(guī)律。

3.引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)

在上述基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為1、2、3、4……的情況進(jìn)行分類研究。經(jīng)過分析后發(fā)現(xiàn)，多邊形的內(nèi)部每增加一個(gè)釘子，相應(yīng)的面積就在內(nèi)部釘子數(shù)為0的多邊形面積的基礎(chǔ)上增加1。發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律后，學(xué)生會(huì)嘗試用符號(hào)（字母）去概括：一般情況下，當(dāng)多邊形邊上的釘子數(shù)為n，多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)為a時(shí)，多邊形的面積就是“（n-2）÷2+a”。

這個(gè)公式的研究、提煉過程，相比較于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)更為自然，前后也更為契合。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行變形，即“S=n÷2+（a-1）”，由此可以自然地揭示出皮克定理。總體而言，這樣的研究過程深化了學(xué)生對(duì)研究結(jié)果的認(rèn)知，同時(shí)也讓學(xué)生對(duì)皮克定理從心理層面更加認(rèn)同。

三、教學(xué)反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不是被動(dòng)的信息接收者，而是對(duì)信息的主動(dòng)選擇者與加工者。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生自主建構(gòu)和創(chuàng)造出來的。我們?cè)诮虒W(xué)中，只有順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)去引導(dǎo)他們進(jìn)行自主建構(gòu)，才能使他們對(duì)知識(shí)形成長(zhǎng)效、持久的掌握。在這個(gè)過程中，教師要激發(fā)學(xué)生增強(qiáng)研究意識(shí)，掌握相應(yīng)的研究方法。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師不能只關(guān)注自己如何教，而更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生如何學(xué)。教師要主動(dòng)跟進(jìn)學(xué)生的學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)要進(jìn)行適當(dāng)啟發(fā)和點(diǎn)撥。通過上面“釘子板上的多邊形”的教學(xué)實(shí)踐，筆者深深感受到教學(xué)應(yīng)從數(shù)學(xué)知識(shí)的本身出發(fā)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，唯有這樣我們才能真正開啟學(xué)生的研究之旅。在對(duì)應(yīng)的研究過程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、積極創(chuàng)造，通過自主建構(gòu)學(xué)生不僅能有效建模，而且還能積累研究經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)基本學(xué)習(xí)方法，提升自身的綜合學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

作者單位 江蘇省徐州淮海國(guó)際港務(wù)區(qū)柳新實(shí)驗(yàn)小學(xué)