轉(zhuǎn)化與化歸作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，能夠?qū)⑾嚓P(guān)的數(shù)學(xué)問題化生疏為熟悉，化含糊為明朗，化抽象為直觀，化復(fù)雜為簡單。借助事物間相互制約、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)，在運(yùn)用整體代入法、配方法、待定系數(shù)法等基本思想的基礎(chǔ)上完善問題的變化過程，可以縮短問題解決時(shí)間。一、轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本運(yùn)用方法

目前，轉(zhuǎn)化與劃歸思想有如下幾種基本運(yùn)用方法。首先，直接轉(zhuǎn)化法。即將數(shù)學(xué)問題向有聯(lián)系的基本定理、公式或圖形轉(zhuǎn)化，能夠及時(shí)理清解題思路。其次，構(gòu)造法。根據(jù)問題中的已知條件構(gòu)建簡易的數(shù)學(xué)模型。第三，數(shù)形轉(zhuǎn)化法。借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法將問題中的數(shù)量關(guān)系與相關(guān)圖形相互轉(zhuǎn)化。第四，換元法。運(yùn)用換元法大多是為了簡化運(yùn)算過程，一般是將問題中復(fù)雜且固定的函數(shù)、方程等在經(jīng)過降冪處理后替換為其他式子。第五，特殊化方法。將普通的問題轉(zhuǎn)化為求特殊解的問題，在證明特殊解也為原問題結(jié)論的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)問題簡化。第六，坐標(biāo)法。其多用于幾何問題的解決，類似于數(shù)形轉(zhuǎn)化，一般是將幾何圖形轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)系中具體的量。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在高三解題中的具體運(yùn)用

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的運(yùn)用。

例1.已知在球O的表面上存在A、B、C、D、P五個(gè)點(diǎn)，連接PA得到PA=2■且PA⊥平面ABCD，而四邊形ABCD正好為邊長是2■的正方形，試求△OAB的面積應(yīng)為多少？

分析：由于四邊形ABCD為正方形且PA⊥平面ABCD，所以可以試圖將這五個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為長方體的頂點(diǎn)，并且球應(yīng)為此長方體的外接球，該長方體對角線中點(diǎn)應(yīng)為球心0。

解：連接A、B、C、D、P構(gòu)建球內(nèi)接長方體，可以得到△OAB恰好處于該長方體對角面上且面積為該對角面的1/4，該對角面的長為■=2■，寬為2■，所以S△ABC=■·2■·2■=■。

2.轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列通項(xiàng)公式求解中的運(yùn)用。

例2．已知存在首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的遞推式滿足an+1=3an+2n ，那么該數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為怎樣？

分析：由于已經(jīng)學(xué)過并了解了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以可以試圖將題目中已知的遞推式轉(zhuǎn)化為常見的通項(xiàng)形式，簡化解題過程。

解：假設(shè)該遞推式可轉(zhuǎn)化為 an+1+k·2n+1=3（an+k·2n）， 與 an+1=3an+2n對比，根據(jù)待定系數(shù)法可得k=1。令bn=an+2n可構(gòu)建等比數(shù)列{bn}，其通項(xiàng)公式為bn=b13n-1，所以an+2n=（a1+2n）3n-1=3n，即an=3n-2n，所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3n-2n。

3.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的運(yùn)用。

例3.如圖，某市現(xiàn)欲在一條東西走向公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m，已知距離O處正北100米的A處存在一古跡，為保護(hù)古跡，該城市決定以A為圓心，100米為半徑設(shè)立圓形保護(hù)區(qū)，為了連通公路l、m，需再新建一條公路PQ，點(diǎn)P、Q分別在公路l、m上（點(diǎn)P、Q分別在點(diǎn)O的正東、正北），且要求PQ與圓A相切。試求：（1）當(dāng)P距離O處200米時(shí)，OQ的長；（2）當(dāng)PQ最短時(shí)，OQ多長？

分析：解決本題的關(guān)鍵在于圖形的分析，根據(jù)圓的切線性質(zhì)可以準(zhǔn)確得到方程變量間的聯(lián)系，為全面求解奠定基礎(chǔ)。

解：由題意可知圓A的方程為x2+（y-1）2=1。 （1）根據(jù)題意可設(shè)直線PQ的方程為■+■=1，即qx+2y-2q=0（q>2），由圓A與PQ相切可知，所以■=1，所以q=■,即當(dāng)P離O點(diǎn)200米時(shí)，OQ的長度為■百米。

（2）設(shè)直線PQ的方程為■+■=1，即qx+py-pq=0（p>1,q>2），因?yàn)镻Q與圓A相切，所以■=1，化簡可得p2=■，則PQ2=p2+q2=■+q2，令f（q）=■+q2（q>2），可知，f（q）=2q-■=■（q>2），當(dāng)2<■時(shí)，f′（q）<0，即f（q）在（2，■）上單調(diào)遞減；當(dāng)q>■時(shí)，f′（q）>0，即f（q）在（■，+∞）上單調(diào)遞增。綜上可知f（q）在q=■時(shí)取最小值，所以當(dāng)公路PQ最短時(shí)，OQ的長為■百米。

轉(zhuǎn)化與化歸不僅是一種重要的思維策略，同時(shí)也是一種重要的數(shù)學(xué)探究方法。通過把難題轉(zhuǎn)化為某個(gè)已經(jīng)解決或者較易解決的問題，可以有效提高解題效率。深刻學(xué)習(xí)與運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，在提高高三學(xué)生解題能力方面具有重要的意義。