本文敘述的是應用了動能定理而達到了事半功倍效益的案例，以增強師生應用動能定理解題的主動意識。

一、動能定理求路程

例如一個質量為m，電量為負q的小物體，可在水平絕緣x軸軌道上運動， x軸向右為正方向，左端o有一與軌道垂直的絕緣墻固定，軌道處在場強大小為E，方向沿ox軸正向的勻強電場中，小物體以初速度V從a點沿ox軸軌道運動，運動中受大小不變的摩擦力F作用，且小物體受到的摩擦力小于受到的電場力。小物體與墻碰撞不損失機械能，求它在停止前所通過的路程。

首先要認真分析小物體的運動狀態，建立物理圖景。開始時，設小物體從a點以V向右運動，它受到四個力的作用，除重力和支持力平衡外，還有向左的電場力和摩擦力，因此小物體向右做勻減速直線運動，直到速度為零。而后，小物體受到向左的電場力和向右的摩擦力作用，因為小物體受到的摩擦力小于受到的電場力，合力向左，小物體做初速度為零的勻加速直線運動，直到以一定的速度與墻碰撞，碰后小物體的速度與碰前速度大小相等，方向相反，然后小物體將多次重復以上過程。

由于摩擦力做功與路程有關，當摩擦力大小一定時，摩擦力的功與路程成正比即等于摩擦力大小與路程的乘積，且總是做負功，因而小物體動能與電勢能的總量不斷損失，小物體通過同一位置時的速度將不斷減小。直到最后停止運動，小物體停止時，必須滿足兩個條件：速度為零和小物體所受的合力為零，小物體只有停在o點才能滿足以上條件。

電場力的功跟起點位置和終點位置有關，而跟路徑無關，所以整個過程中電場力做功為電量大小、電場強度大小與始末之間位移大小的乘積。小物體的初動能為質量與初速度平方的乘積的一半，末狀態靜止，末動能為零。又根據動能定理，合外力對小物體所做的功等于小物體動能的改變，得：整個過程中電場力對小物體做的功加上摩擦力對小物體做的負功等于物體的末動能零減去小物體的初動能，這樣就很容易求出小物體在停止前所通過總路程。

若開始時，設物體向左運動，則水平方向受到向左的電場力和向右的摩擦力，因為小物體受到的摩擦力小于受到的電場力，合力向左，物體做初速度為V的勻加速直線運動，綜上分析物體最終也停在o點。“動能”狀態量是標量，無方向性無需注意初速度的方向，且動能只涉及到始末的狀態，也無需考慮過程的變化，同樣可用動能定理對運動的全過程列式，特別簡便實用。

此類問題若用牛頓定律和運動學公式解決，則必須考慮初速度的方向，在整個過程中小物體向左運動和向右運動的合外力大小方向又均不相同，因而加速度也不相同，解決小物體的多次往復運動問題的基本方法是分段計算其與o點不斷遞減的距離，尋找其變化規律，然后再用數學的求和定理求其總的路程，不但繁瑣、耗時，而且很容易出錯。

二、動能定理求變力的功

例如一人站在高為h的樓上，用手水平地將一質量為m的物體拋出，如果拋出時的速率為a，落地時的速率為b，重力加速度為G，求⑴人對物體做的功；⑵物體在飛行過程中空氣阻力所做的功。

物體從靜止開始到脫手的過程中，人施于物體的力、物體運動的軌跡、位移都是未知的；脫手后，物體在空氣中運動，它受到的空氣阻力和運動軌跡也是未知的，顯然，由功等于力與力方向上通過的位移的乘積求解是不可能的，但用動能定理來求變力的功只需從這段位移的始末兩狀態動能變化去考察，無需注意其中運動狀態變化的細節，又由于動能是標量，無方向性，無需考慮物體是直線運動還是曲線運動，計算特別方便。

物體從人手中拋出的過程，物體受到人手的力F和重力G的作用，F豎直分量與重力平衡，且它們的方向都與物體位移方向垂直，對物體不做功，只有F的水平分量對物體做了功。

根據動能定理，人對物體所做的功等于物體質量與初速度平方的乘積的一半；物體在空中運動的過程中，受到重力和空氣阻力作用，重力做功與路徑無關，只與沿重力方向的位移有關，即物體質量、重力加速度常數、下落的高度三者的乘積。由動能定理可知重力對物體做的功加上空氣阻力對物體做的功等于物體落地時的末動能（物體質量與落地時速度平方的乘積的一半）減去物體拋出時的初動能（物體質量與拋出時速度平方的乘積的一半），等式中只有空氣阻力對物體做的功是未知的，只要求出物體在飛行過程中空氣阻力所做的功就可以了，簡便且不容易出錯，用動能定理何樂而不為呢？