[摘 要]文章基于知識本體，將“變式教學”的教學模式應用在了抽象的高等代數教學活動中，結合幾個典型的教學案例闡述了概念性變式教學和過程性變式教學運用在本課程中的合理性、可行性、高效性以及對培養學生創新能力的重要性。

[關鍵詞]知識本體 高等代數 變式教學 教學模式 教學案例

基金項目：陜西省高等教育教學改革研究項目（11BY65），陜西省教育科學研究“十二五”規劃項目（SGH12354）。

高等代數課程在數學專業課程中隸屬純粹數學的分支，其建立起來的代數系統是很完善的、應用廣泛的，但把握起來卻是難以理解和非常抽象的。如何將這樣一個抽象的理論呈現給學生，使學生能夠較容易地接受以達到學習的高效性？筆者通過近十年的教學研究，提出了基于知識本體的“變式教學”的教學模式，這種模式大大提高了高等代數課程的學習效率，是一種值得推薦的教學模式。

所謂“變式教學”，是指以培養學生靈活轉換、獨立思考能力為目的，在教學過程中教師精心設計一些不斷變更問題情境或者改變思維角度，由簡到繁，由易到難的數學問題，使事物的非本質特征時隱時現，而事物的本質特征卻始終保持不變的教學模式[1]。這樣模式在變換知識表征的同時鍛煉學生的思維能力，如果說“數學是鍛煉思維的體操”，那么數學教師就是引領學生做體操的人。數學課堂的創新教學即變式教學在培養、操練學生的創新能力方面起著決定性作用。但我們必須把握一個原則，那就是目標導向應放在第一位，“在明確了實際教學目的的前提下，我們才能明確哪些是知識內容的本質特征，哪些是非本質特征，從而明確什么可以變，什么不可以變”[2]。

通過中美數學教師對數學知識理解的比較研究，馬立平（Ma,1999)發現，中國教師強調對概念進行多角度理解，而美國教師則比較重視操作過程。在教學中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解，被認為是“中國數學教學的一個重要特征”；同時中國的教學模式呈現一種有層次的推進教學模式，彭恩霖（Paine,1990)根據她1986年-1987年對中國教學的實地研究，把中國教學法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語控制下由淺入深逐層推進。她認為中國課堂教學用清晰優美的語言把知識由淺入深地傳授給學生，這一過程的展開包含著藝術的成分；另外通過對東西方數學課堂教學的比較研究我們發現中國的教學一直都在尋找不同的問題解決途徑，上世紀80年代，密歇根大學斯蒂文森（Stevenson)領導的研究小組對中、日、美三國學生的數學成績進行了一系列比較研究。發現來自日本、中國大陸和中國臺灣的學生數學能力遠高于美國學生。這些研究是基于對800節小學數學課的課堂觀察，采用系統時間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結論：（1）在東亞課堂中，同一數學概念用不同方法表征的實踐普遍比美國課堂多；（2）中日兩國教師通常會在一個抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習，美國教師則較少這么做；（3）學生數學思考的質量依賴于學生對問題的反應和教師如何提出問題兩個方面。與東亞相比，美國教師不太會采用什么技巧去激發學生的建設性思考和對數學的概念性理解。

基于以上變式教學研究的背景，我們清楚地看到變式教學作為一種傳統和經典的中國數學教學方式在中國由來已久，外國學者的變異理論和腳手架理論為中國的變式教學理論提供了認識論基礎和理論支撐，這種教學是提高數學課堂教學效果，減輕學生負擔的有效途徑，對它的理解將有助于對中國數學教學的本質理解。如何理解變式，如何劃分變式教學的類型，在很大程度上影響我們對它的理解，顧泠沅對變式教學進行了系統的實驗研究，提出了“概念性變式”和“過程性變式”兩個核心概念，基于數學概念的存在形態和數學概念的結構特征兩方面的考慮在高等代數的教學中運用變式教學的 “概念性—過程性”兩維度分類模式。

1.概念性變式教學

高等代數的教學中對各類問題的研究總是先給出確切的定義，然后從定義出發，利用嚴密的邏輯推理方法，依次推出性質、定理、推論等，從而建立各類問題的一套完整的理論體系，這是邏輯推理的嚴密性的一個具體體現。從這里不難看出，透徹地理解定義對于整章內容把握的重要性。例如：在行列式一章的講解中，n階行列式的定義是這一章的難點和重點，概念本身很抽象，我們采取概念性變式的教學方法，對概念從多角度讓學生理解，用不完全歸納法讓學生從二階和三階行列中觀察總結出一下三個問題：（1）n階行列式有幾項在做代數和？（2）n階行列式每一項取幾個元素，這些元素都是如何取出來的？（3）每一項前的符合如何確定？通過數學歸納法學生很快能對這三個問題作出正確回答，我們通過改變概念的表征方式，改變概念的外延卻不改變概念的本質的方法很快解決了困擾學生的n階行列式的概念問題。

通過使用“概念性變式”，學生可以多角度地理解概念，從具體到抽象，從特殊到一般，通過排除背景干擾突出概念的本質屬性，闡明概念的內涵。這樣，通過概念性變式教學，幫助學生理解概念的本質和建立本質的聯系，達到了高效學習的目的。

2.過程性變式教學

數學教學包括兩種類型的活動：一是教陳述性知識（即概念），二是教程序性知識（即過程）。由于程序性知識（問題解決和元認知策略）是動態的，采取靜止的概念性變式不能促進其學習過程。數學活動過程的基本特征是層次性，它包含為解決問題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過程性變式，學生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關系或獲得多種方法。例如：在講到矩陣的可逆時，我們的《高等代數》教材[3]中并沒有按照知識的形成過程和學生的認知規律來講解，為了體現數學知識的層次性，同時為了讓學生感知數學的形成過程，我們采用了過程性變式的教學方法分為三個步驟來講解這部分內容：第一步矩陣可逆的定義和性質講完后，學生在感知單位矩陣都是可逆的同時知道不是所有的方陣都可逆，那么自然要問什么樣的方陣是可逆的？這就順理成章地想到第二步矩陣可逆的判定了，當知道了什么樣的矩陣可逆時顯然想知道如何求出可逆矩陣了，這就是第三步矩陣可逆的求法了。相對于課本內容我們添加了4條矩陣可逆的判定定理[4]后才講到了具體的求法，這樣符合學生的認知心理。另外為了使學生建立良好的知識結構，我們在教材的安排上也進行了調整，在課本線性代數板塊的教學中，將矩陣這一章節放在了線性方程組的前面，充分體現借助于行列式和矩陣兩個工具來解決線性方程組的思想。

通過使用“過程性變式”，學生可以理解知識的起源以及用什么方法和在什么地方運用它們。這樣可建立良好的知識結構。通過使用這種變式，幫助學生形成概念，解決問題，構建一個活動經驗系統，進一步可以幫助學生理解知識的不同組成部分和完善知識結構。

通過研究我們得出，變式教學有一定的規律可循，目標導向應該放在第一位，明確在課堂中必須尊重知識本身從基礎問題出發，遵循一定的方法通過正確的思維方式把概念和過程進行變式，變中求解，解中求變，最終還原問題本質，這在很大程度上提高了學習效率，是一種高效的學習模式。但是通過教學我們發現仍存在一些問題需要改進，例如教材中練習題的安排往往是一例一練的，屬于基本練習，學生往往受思維定勢的影響，練習時模仿例題，思維水平得不到提高，而且教材中的練習往往是靜態的，與現實生活聯系得很少，學生往往不知道知識該如何應用，這就需要我們教師不斷地鉆研教材，挖掘教材中開放性因素，設計變式練習。我們計劃在接下來的研究中從知識本身的結構特點出發，設計變式練習，以求通過練習加強知識之間的相互聯系，體現知識的系統性和結構性，這樣有利于學生對知識進行靈活的遷移，有利于完善學生的認識結構和促進學生對知識本質的理解和掌握。

參考文獻：

[1]張玉成.創造性能量培養與數學教學模式改革[J].深圳教育學院學報，1999(01).

[2]戚紹斌.略談變式教學的若干原則[J].數學通報，1996(01).

[3]北京大學數學系.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]張禾瑞，郝炳新. 高等代數（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.