一、統(tǒng)計(jì)與概率問題

在現(xiàn)代社會(huì)，人們不可避免地會(huì)遇到各種統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象和概率問題。什么是統(tǒng)計(jì)與概率呢？簡(jiǎn)言之，統(tǒng)計(jì)就是收集和分析數(shù)據(jù)；概率就是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的就是如何收集、整理、分析反映事物總體信息的數(shù)字資料，并以此為依據(jù)，對(duì)總體特征進(jìn)行推斷的原理和方法，與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)有一定的差異。與統(tǒng)計(jì)不同，概率雖然也研究隨機(jī)現(xiàn)象，但其研究的基礎(chǔ)還是定義和假設(shè)，這與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)很類似。在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容涉及的是一些基礎(chǔ)知識(shí)，概率內(nèi)容側(cè)重于描述一些日常生活中的簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象。

二、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)有學(xué)語(yǔ)言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具和方法。比如，加法交換律可以用“a+b=b+a”來表示，這就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)模型是一個(gè)以“系統(tǒng)”概念為基礎(chǔ)的，應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)現(xiàn)象世界的事物實(shí)體抽象的“映像”。小學(xué)數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。

建立數(shù)學(xué)模型包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解和分析等一般步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)必須從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，充分考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)和感受從實(shí)際生活背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、尋求解決方法、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、最后解決問題的數(shù)學(xué)建模全過程。

三、如何在小學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

小學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)不要求學(xué)生用高深的數(shù)學(xué)建模知識(shí)去為解決一些統(tǒng)計(jì)和概率問題。而是要通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)等基本統(tǒng)計(jì)活動(dòng)和簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象可能性的探究，逐步從實(shí)踐的“操作”發(fā)展到理論的“構(gòu)建”，雖然沒能使學(xué)生系統(tǒng)地掌握建模的方法，但使學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模過程，潛移默化地滲透了數(shù)學(xué)建模思想。下面以概率教學(xué)為例，探討如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想。

（一）知識(shí)梳理，為學(xué)習(xí)做鋪墊

教師指導(dǎo)學(xué)生用“一定”、“經(jīng)常”、“偶爾”、“不可能”等詞語(yǔ)來描述生活中一些簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平均數(shù)的意義和計(jì)算方法，討論“擲一枚均勻硬幣正面向上的可能性”，然后組織學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)，并將測(cè)得的數(shù)據(jù)記錄下來，進(jìn)行組內(nèi)交流。

（二）深入探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1.創(chuàng)設(shè)情境，澄清問題。教師呈現(xiàn)系列問題：“擲一枚均勻的硬幣正面向上的可能性有多大”、“在數(shù)學(xué)上如何表示這種可能性”、“這個(gè)數(shù)值是怎么得出來的？”

2.引導(dǎo)實(shí)驗(yàn)，探究交流。學(xué)生分組探究實(shí)驗(yàn)。教師提醒學(xué)生：做好實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄和整理，各組實(shí)驗(yàn)完成后，全班討論交流。主要從實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)收集整理、數(shù)據(jù)分析等方面進(jìn)行交流，使學(xué)生認(rèn)識(shí)各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在差異的原因，感受實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)背后的隨機(jī)事件發(fā)生可能性的實(shí)質(zhì)。

3.理論分析，詮釋模式。引導(dǎo)學(xué)生思考如何去表示隨機(jī)事件的可能性大小，分析數(shù)學(xué)上是如何表示隨機(jī)事件的可能性的，理解在數(shù)學(xué)上如何用概率（一個(gè)大于零小于1的數(shù)值）來表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。

4.橫向類比，縱向突破。教師在指導(dǎo)學(xué)生完成應(yīng)用度統(tǒng)計(jì)的方法產(chǎn)生概率的過程之后，呈現(xiàn)給學(xué)生一類概率計(jì)算問題：如果這個(gè)硬幣是均勻的，你如何去計(jì)算擲一枚硬幣正面向上的概率？并用擲骰子等問題做類比，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)其概率作出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，并進(jìn)行交流。教師組織學(xué)生交流計(jì)算方法，比較得出結(jié)論后，著重交流研究方法。

5.抽象概括，形成模型。組織學(xué)生通過探索交流，抽象出古典概率模型。如果隨機(jī)事件發(fā)生有N個(gè)可能結(jié)合（N為有限個(gè)，即N＜∞），并且每個(gè)結(jié)合發(fā)生的可能性相等，那么每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率就是1/N。然后嘗試使用這種概率計(jì)算方法去解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問題。

（三）總結(jié)反思，知識(shí)拓展

在學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程有所體驗(yàn)，經(jīng)歷了簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程，建立了古典概率模型后，可組織學(xué)生討論游戲規(guī)則的公平性（游戲雙方獲勝的概率相等），研究如何去設(shè)計(jì)一個(gè)符合指定要求的游戲方案等問題，以應(yīng)用所學(xué)模型、拓展概率知識(shí)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何用數(shù)據(jù)分析結(jié)果去判斷與預(yù)測(cè)隨機(jī)現(xiàn)象。在教學(xué)中，要借助日常生活的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生利用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)去解決實(shí)際問題，有意識(shí)地增強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系的直觀感受。

數(shù)學(xué)與人類生活有密切聯(lián)系，數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造。在統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，就是讓學(xué)生在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)和概率計(jì)算中獲取統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的過程，就是讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)據(jù)描述信息，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法的過程，就是讓學(xué)生通過統(tǒng)計(jì)活動(dòng)獲得成功愉悅、發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念的過程。