【摘 要】 應用數學的教學一直是經濟類專業教學安排的重點。本文提出將數學模型引入到經濟應用數學教材和教學內容，在教學過程中加強對學生建模能力的培養, 注意推廣最優化理論和方法的教學, 并就經濟類專業應用數學課程的教學實踐提出應注意的幾個方面。

【關鍵詞】 經濟應用數學 數學建模 教學實踐

近幾十年來, 隨著社會的不斷進步和科學技術的迅速發展, 數學的應用范圍在不斷地擴大, 早已突破了傳統的范圍,擴展到包括生物、化學、醫學等極其廣泛的領域。特別是在經濟、管理領域,存在著大量的數學定量和最優化問題, 亟待研究與開發。

經濟應用數學的教學現狀

經濟應用數學課程是經濟管理類統設必修課, 包括微積分、線性代數和概率論與數理統計課程。傳統的經濟數學課程無疑在打好學生的高等數學基礎、培養學生的自學能力以及為后續課程的學習等方面起到相當大的作用。然而它的局限性也逐漸明顯。現行經濟數學課程存在的主要問題有：

在教學內容上, 傳統的經濟數學教材僅僅是數學專業教材的簡寫本, 部分教材更像一本題解。傳統的教學和教材內容過分強調細節而將現代經濟學、管理學中所需要的豐富的數學內容排除在外?，F在的經濟、管理中的問題很多是不確定的優化問題。但是大量的學時花費在計算、解題技巧等一些細節上, 以至于微積分和線性代數中有部分知識點沒有時間講, 使概率統計的學時被壓縮, 導致了經濟數學的教學內容與經濟、管理學科的需要知識嚴重脫節。

在教學方法上, 傳統的教學方法過于注重教師的作用, 以教師為中心的注入式、保姆式的教學方法占主導地位。體現在過于注重概念、定理的推導和證明、計算以及解題的技巧, 過分強調數學的邏輯性和嚴密性, 使學生覺得數學相當抽象, 從而對數學問題望而卻步, 使數學遠離我們的世界, 遠離我們的日常生活。課堂教學中師生缺乏互動, 課堂常常是老師的“一言堂” 。學生完全是被動的學習, 長此以往, 不但無法使學生真正掌握所學的知識, 而且會助長學生的依賴心理, 養成思想懶惰的習慣, 嚴重妨礙學生創新意識和創新能力的培養, 更不要說將所學的知識運用到具體實踐中去。在教學手段上數學的教學仍主要停留在粉筆加黑板的傳統方式上, 這種方式在數學教學上雖然是必要的, 但是也有很大的弊病。如效率低下, 圖形既不準確, 也缺乏動態效果等等。這就需要對傳統的教學方式進行改革, 將現代化的技術手段引人到教學實踐中。

在應用上, 數學的應用停留在古典幾何和物理上, 忽視數學在經濟、管理中的運用, 導致學生認為數學沒有用, 主動應用數學的意識淡薄, 不利于培養學生運用數學知識解決實際問題的能力, 且不能滿足后續專業課的需要。此外由于缺乏實踐的機會, 使得理論和實踐嚴重脫節。這導致學生產生數學無用論的觀點, 甚至有部分學生數學學得還不錯, 可是遇到實際問題就不知道怎么解決[2]。

國內外數學教學改革的趨勢, 越來越注重數學的應用性。因此在教學中應注意將數學理論與經濟問題相結合,加強應用能力的培養,把經濟數學模型滲透到經濟數學課程中。通過數學模型可以提高學生的實際操作能力和理解力, 通過教師的教和自己的實踐達到百聞不如一練的效果。

如何加強對經濟應用數學模型建模能力的培養

把數學與客觀實際問題聯系起來的紐帶首先是數學建模, 一個好的數學模型往往要通過創造性的思維和大膽探索才能建立和改進。因此, 數學建模的基本知識已成為經濟管理人員所必備的基礎知識,而專業的應用數學工作者和經濟理論研究者更需要具有熟練的數學技巧和豐富的想象力。

經濟應用數學模型的兩大應用方向為經濟理論研究和實際經濟管理的需要。我國對經濟應用數學模型的研究,開始于20 世紀60 年代初, 但長期以來一直沒有很大的進展, 這與從事數理經濟學研究和應用的工作者向經濟理論工作者普及經濟數學方法和模型不夠有關[1]。近年來, 隨著社會主義市場經濟體制的建立和不斷完善, 數學模型( Mathematical Model ) 在經濟管理領域的應用迅速發展, 社會經濟建設過程中對專門人才的需求也日益擴大。因此, 高等院校在擔負培養相關人才的同時更應加強這方面的理論研究。經濟管理領域常用的數學模型有投入產出模型、經濟計量模型、回歸模型、時間序列模型、線性規劃模型、系統動態模型和狀態空間模型等等, 每一種模型都有自己的優點和局限性, 綜合運用可使它們取長補短、相得益彰。在經濟領域里, 應用最為廣泛的模型是運籌學模型(Models of Operations Research) , 簡稱ORM, 常見的有運輸模型、分配模型、網絡模型、存貯模型、排隊模型、可靠性模型、對策模型、動態規劃模型、最優控制模型等, 每一種具體模型就是運籌學的一個分支。這類模型的一般形式通常為

其中x = (x1, x2 , .., xn 是由一組決策變量x1, x2 , .., xn 構成的n維向量;f1(x),f2(x), .. ,fp(x)是目標函數; g1(x),g2(x), .. , gm(x)是約束函數。

培養建立數學模型的能力是十分重要的, 這其中主要應注意培養以下幾個方面的能力:

1) 理解實際問題的能力, 包括有廣博的知識面, 搜集信息、資料和數據能力等;

2) 抽象分析問題的能力, 包括抓住主要矛盾, 選擇設計變量, 進行歸納、聯想、類比等創造能力;

3) 運用工具知識的能力, 包括自然科學、工程技術、計算機, 特別是數學知識等能力;

4) 試驗調試能力, 包括反復修改等動手能力。

構造經濟應用數學模型, 一般要以經濟理論為依據, 因為沒有經濟理論的指導, 我們很難從國民經濟各部門浩瀚的數據中找出彼此關聯的變量, 也難以構造出反映現實經濟關系的數學模型。同樣, 即使在目前大多數經濟工作者已經具備了一定的數學基礎的時代, 在約束條件下求最優所使用的技術, 也還是被認為有一定深度的, 特別是在包含時間的決策問題上更是如此, 因為在某時刻的選擇將會影響以后可采用的選擇。實際上, 完全可能從一開始就把數學和經濟學聯系起來, 并且以一種容易處理的步驟搞清數學模型的建立過程和方法。在具體實踐中建模的應用步驟是: 模型的制訂; 模型參數的估計;模型的檢驗; 模型的應用( 經濟預測) 。在構建實際經濟問題的數學模型中, 特別是涉及實證分析的, 要大量采用有限數學的方法, 尤其是矩陣、矩陣代數與差分方程, 因為這些明顯地與大部分實證研究基礎的離散觀測資料相吻合。目前西方發達國家致力于大規模的各類模型的研究, 例如, 美國的& 連接計劃(LinkProject )。采用的數學模型包括了18 個國家、7447 個方程和3368 個外生變量, 用來進行經濟預測和政策模擬的多國合作的研究活動[2]。因此, 在培養學生建模能力的過程中, 首先要求他們在學習自然科學和社會科學等有關分支的知識的同時, 特別要加強對經濟領域基礎知識的學習, 掌握它們的法則、規律和公式等, 這樣才能有助于提高建模的實際工作能力; 其次在學習各門課程時, 要多做應用題, 這對提高分析問題能力和運用各種知識解決問題能力是不可缺少的基本訓練; 第三要多接觸實際問題, 有時還要深入工廠企業、公司等實際部門, 培養調查和提出問題的能力。

大力推廣最優化理論和方法的教學

最優化( Optimization ) , 即在復雜環境中遇到的許多可能的決策中, 選擇依據某種指標的最好決策的科學。在20 世紀30 年代末, 由于軍事和工業生產發展的需要, 提出了一些不能用古典微分法和變分法解決的問題, 在許多學者的努力下, 逐漸產生、發展和形成了一些新的方法; 20 世紀50 年代后, 隨著計算機的發展和經濟生產的需要, 進一步形成了最優化理論以及相應的求解方法—— 最優化方法。目前這些理論和方法已在生產管理、系統控制、工程設計、經濟規 劃等領域得到了廣泛的應用[3]。

數學規劃( Mathematical Programming ) 是最優化理論的一個重要分支, 它是指n 個變量對單目標( 或多目標) 函數求極值, 而這些變量也可能受到某些條件的限制, 其數學表達式為

這里f(x)為目標函數(objective function) , ci(x) = 0, i ∈ E 及ci(x) ≤ 0, i ∈I 為約束條件( constraint condition ) 。若在此表達式中f(x) 、ci(x)均為線性函數, 則所得規劃為線性規劃(Linear Programming), 否則為非線性規劃[4]。

在經濟學分析中, 最優化是一個重要的主題。因此, 尋找無約束和有約束極值的古典微積分方法和數學規劃的近期技術在構造、處理經濟模型中占據著重要的位置。科學技術和生產的不斷發展使得人們越來越重視一些大系統的最優化技術, 各種大型的社會經濟系統、企業管理系統等的運行管理和控制都是大系統優化問題的典型例子。由于大系統性能的一些很小的改善都會帶來巨大的收益, 因此, 研究大系統優化問題是非常有實用價值的。所以, 在解決實際問題時, 不僅要建立科學合理的數學模型, 還要掌握運用先進的計算機技術進行信息加工和數據處理。

教師在教案準備和教學組織時, 應側重搜集和講解經濟領域最優化理論及方法運用的實例, 通過對這些實例的分析和講解, 激發學生的學習興趣, 使他們學會運用最優化的思想和方法分析處理問題。

經濟類專業應用數學的教學需注意的幾個問題

目前在各高等院校經濟類專業開設的應用數學的教學過程中, 普遍加強了對學生在應用數學方法和手段分析問題、解決問題的能力培訓。通常在經濟類專業開設的應用數學課程主要有: 微積分、線性代數、概率論和數理統計、線性規劃和運籌學等, 在這些課程的具體教學組織中, 應當注意以下幾點:

1. 教學內容要符合基本要求

2006 年教育部數學與統計教學指導委員, 組織專家討論制訂了經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求。我們要按照要求, 設計教學內容。

2. 因材施教, 把握好內容的難易程度

因材施教, 就是考慮到我們地方高校生源特點,講授數學概念、理論與方法盡量使學生易于接受, 在講授重要概念時盡量選用經典的例子。還要注意到盡量結合專業配置例題和習題, 但避免強拉硬套和專業性過強的例子, 配置的例題應難易適度。老師講課中過多選擇歷年考研真題會喧賓奪主, 影響學生對新的概念和方法的學習。

3.傳授知識的同時, 融入數學思想方法

這種教學理念李大潛院士曾給予充分肯定?，F在社會科學中使用數學已經被廣泛接受了, 特別是在經濟學方面。其次, 社會科學的主題, 關于復雜系統的理論是用文字表達的, 而它們的分析與比較用數學形式來表示會有很大的幫助。第三, 對于一些社會科學主題中比較模糊、甚至很難得到確切信息的概念, 數學可以提供一種領會的手段。

利用數學已經建立起來的一系列公式和定理, 特別是利用描述復雜事物之間關系的多元微積分和矩陣代數以及抽象空間的概念來研究經濟現象, 確實給我們帶來了極大的方便。尤其是貫穿在整個數學中的精確而客觀的思考方法, 使得對經濟問題的認識不再模棱兩可。經濟學數學化的重要標志, 是它不限于僅僅應用現有的數學工具, 而是與數學融為一體, 同步發展。例如, 線性規劃的出現誰也說不清這是數學的突破還是經濟學的突破[5]。隨著我國社會主義市場經濟體制的建立和成功加入世界貿易組織, 數學在經濟領域的應用范圍必將越來越廣泛。這就給從事高等院校相關專業應用數學教學的教師提出了新的要求, 必須扎扎實實地深化教學改革, 才能培養全面適應新世紀社會主義現代化建設的各級各類人才。

參考文獻:

[1]李大潛.素質教育與數學教學改革[J].中國大學教育,2000(3).

[2]李大潛.大力提倡和推動以問題驅動的應用數學研究[J]. 大學數學課程報告論壇, 2006(2).

[3]吳志堅.美國數學教學改革的回顧與展望[J].大學數學課程報告論壇,2006(3).

[4]江丕權.關于美國數學科學教育改革的簡介[J].教育科學研究,2009(1).

[5]亞歷山大洛夫A. D. 數學: 它的內容, 方法和意義[M] . 北京:科學出版社, 2001.